ボース気体

理想ボース気体の熱力学

理想ボース気体とは、整数スピンを持つボース粒子から構成され、ボース-アインシュタイン統計に従う量子力学的な系です。古典的な理想気体と異なり、極低温下ではボース＝アインシュタイン凝縮という特異な現象を示します。この凝縮は、ボース粒子がすべて最低エネルギー状態に集まることで生じます。

トーマス＝フェルミ近似

理想ボース気体の熱力学は、グランドカノニカル分布を用いて記述されます。グランドカノニカル分配関数は、エネルギー固有値εᵢとその縮退度gᵢを用いて次式で表されます。

$\mathcal{Z}(z,β,V) = \prod_i (1 - ze^{-βεᵢ})^{-gᵢ}$

ここで、zは絶対活量（フガシティー）、βは逆ボルツマン定数、Tは温度'>[温度]、Vは体積です。

熱力学的諸量は、この分配関数から導出されます。しかし、直接計算が困難なため、エネルギー準位間の差が大きいと仮定するトーマス＝フェルミ近似が用いられます。この近似により、和を積分に置き換えることができ、計算が簡略化されます。

$\Omega ≈ \int_0^∞ \ln(1 - ze^{-βE}) dg$

ここでΩは無次元のグランドポテンシャルです。縮退度dgは、系の性質によって異なる表現を持ちます。例えば、箱の中のボース気体ではα=3/2、調和ポテンシャル中のボース気体ではα=3となります。

この積分は、多重対数関数Liₛ(x)を用いて解析的に解くことができます。

$\Omega ≈ -\frac{Li_{α+1}(z)}{ (βE_c)^α}$

ここで、E_cは臨界エネルギーです。

基底状態の組み入れ

トーマス＝フェルミ近似では基底状態の縮退度がゼロと仮定されるため、ボース＝アインシュタイン凝縮を正確に記述できません。そこで、基底状態を明示的に考慮する必要があります。全粒子数Nは、励起状態の粒子数と基底状態の粒子数の和として表されます。

$N = N_0 + \frac{Li_α(z)}{(βE_c)^α}$

ここで、N₀は基底状態に凝縮した粒子数です。この式を用いることで、臨界温度T_c以下の系の挙動も記述できます。

臨界温度以下では、化学ポテンシャルμはゼロに近づき、多くの粒子が基底状態に凝縮します。

熱力学

グランドポテンシャルΩから、内部エネルギーU、圧力P、エントロピーSなどの熱力学的諸量が計算できます。低温・高温極限におけるこれらの熱力学的量は、古典的な理想気体の結果に漸近します。

特に、内部エネルギーと圧力・体積との関係は、すべての温度において古典的な理想気体と同じです。

$U = αPV$

定積比熱Cvも同様に、古典的な理想気体の結果に近づきます。

高温極限では、エントロピーSはザックール・テトローデ方程式に漸近します。

１次元ボース気体

デルタ相互作用のある１次元ボース気体は、ベーテ仮設を用いて厳密に解くことができます。この系はフェルミ粒子のように振る舞い、パウリの排他原理に従います。バルク自由エネルギーや熱力学的ポテンシャルは、楊振寧によって計算されています。

まとめ

理想ボース気体は、ボース＝アインシュタイン凝縮という特異な現象を示す量子力学的な系です。トーマス＝フェルミ近似を用いることで、その熱力学的な性質を比較的簡単に計算できますが、低温での正確な記述には基底状態を考慮する必要があります。１次元系では、興味深い量子効果が現れます。この理想ボース気体の研究は、超流動やボース＝アインシュタイン凝縮の理解に重要な役割を果たしています。

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