マシュケの定理

マシュケの定理について

概要

マシュケの定理は、群の表現論において重要な役割を果たしており、特に有限群の表現の構造に関する基本的な特性を示します。この定理は、有限群の任意の表現が既約な部分表現の直和として表されることを保証しています。この原理は、群の加群としての性質を通じて理解され、加群の理論においても重要な意味を持ちます。

マシュケの定理の内容

具体的には、有限群 G と 0 の標数を持つ体 K を考えます。この時、G に対する群環 KG は半単純環であることが言えます。これにより、G の表現は既約表現の直和として分解することが可能となります。この分解は、群の表現を理解する上で非常に便利です。

たとえば、K が複素数体 C の場合、群環 KG は複素数の行列環の直積として表されます。このことから、それぞれの因子は G の K 上の既約表現に対応することが示されます。一方、標数 0 の体 K が algebraically closed でない場合、群環 KG の構造はいくつかの斜体上の行列環の直積によって特徴づけられます。

加群の理論とマシュケの定理

加群の観点から見た場合、任意の群の表現は加群として扱うことができます。この視点から、既約表現は単純加群と関連し、全体の加群が半単純であるかを確認することができます。

したがって、マシュケの定理は、有限次元の表現が既約成分の直和によって構成できるかどうかという疑問に対する回答となります。この理論により、表現論の分野では既約表現の分類が中心的な課題になるのです。

既約部分表現の一意性と重複度

マシュケの定理によると、すべての表現は既約成分の直和に分解できますが、その分解は一意ではない可能性があります。しかし、ジョルダン-ヘルダーの定理により、既約部分表現の重複度は定まっており、一定の矛盾がないことが保証されています。このことにより、表現は同型を除いてその指標によって分類できるため、計算が必要なくとも有限群に関する構成法を導くことが可能になります。

一般化と条件

マシュケの定理はさらに一般化されることがあり、環 k と有限群 G に対して、群環 kG が半単純であることと、k が半単純であり、|G|・1 が k の単元であることが同値であるとされます。ただし、群 G が無限である場合、群環 kG は決して半単純にはなりません。

結論

マシュケの定理は、群の表現論において基盤となる理論であり、有限群の表現を効率的に理解するうえで欠かせない成果を提供します。この定理による直和分解の理解は、群の性質だけでなく、加群の理論の発展にも寄与していることから、数学の広範囲にわたってその重要性が認識されています。

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