有限群

有限群についての総論

数学、特に抽象代数学における有限群とは、要素の数が有限の集合に基づく群を指します。有限群は数学の様々な分野で重要な役割を果たしており、その解析や構造的理解は20世紀の数学者たちの多くの研究の中心にありました。特に、局所解析や可解群、冪零群の理論が深く探求されてきました。ですが、全ての有限群の構造を完全に解明することは非常に難しい課題であり、その数は驚異的に多様です。それにもかかわらず、単純群の完全な分類だけは達成され、任意の有限群はその「組み立て部品」である単純群の組成列を持つことが知られています。

有限群の迅速な発展

20世紀後半に入り、シュヴァレーやシュタインベルクといった数学者たちによって、古典群やそれに関連する群の有限の類似がより深く理解されるようになりました。これにより、特に有限体上の一般線型群など、さまざまな群族の性質が解明されていきました。有限群は同じく、数学的・物理的な対象の対称性に関連しており、特に変換が有限集合に制限される場合にしばしば利用されます。これとは別に、連続的な対称性を扱うリー群の理論は、ワイル群からの影響を色濃く受けているため、両者の関連性も見逃せません。さらに、有限次のユークリッド空間に作用するミラー変換なども、有限群の一部を形成しています。このように、有限群の特性は理論物理学や化学など、他の多くの分野でも重要な意味を持ちます。

有限群の具体例

置換群

対称群 $S_N$ は、N個の文字の全ての置換の集合を表しています。N! 通りの置換が存在するため、この対称群の位数はN!になります。ケーリーの定理によれば、あらゆる有限群は、適当なNに対する対称群 $S_N$ の部分群として実現可能です。また、偶置換のみによる部分群である交代群は $A_N$ という記号で示されます。

巡回群

巡回群 $Z_N$ は、特定の元 a の冪によって生成される群であり、なかでも $a^n = a^0 = e$ という関係が成り立ちます。巡回群の例としては、1の冪根を扱う群が挙げられ、ある写像により $Z_N$ と1の冪根群の間に同型が成り立ちます。

主要な定理

数学における有限群の理解を深めるため、多くの主要な定理があります。その一つがラグランジュの定理で、任意の有限群 G に対して、その部分群 H の位数は G の位数を割り切るというものです。これに由来するのがシローの定理で、特定の位数を持つ部分群の存在数に関する情報を提供します。

与えられた位数の群の種類

ある正の整数 n が与えられた際、位数 n の群の同型を無視した数は一様に決まるわけではありません。特に、位数が素数 p である場合、その群は巡回群であることがわかります。さらに、n が素数の二乗であるときは、同型を考慮せずに二つのアーベル群が存在します。n が高次の冪である場合、群の数は急激に増加します。

結論

有限群に関する研究は、数学の基礎だけでなく、多くの科学の分野にとっても極めて重要であり、その知識は広範です。また、任意の正の整数 n に対して、その位数の群が可解であるか否かの決定も、多くの研究者にとって継続的な課題となっています。特に、位数 n の単純群は最大でも2種類しか存在し、同型でない場合が無限に存在するという事実は、その複雑さを際立たせています。

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