マンデルスタム表示

マンデルスタム表示

マンデルスタム表示は、素粒子の散乱過程における振幅を解析するための重要な手法の一つです。この表示は、特に二体の反応、例えば、物質 A と B が反応して生成物 C と D に変わる場合の散乱振幅を記述します。振幅はエネルギーと移行運動量という二つの独立した変数の関数として表現されます。この概念はスタンリー・マンデルスタムによって提唱され、物理学の分野で広く受け入れられています。

マンデルスタム変数

マンデルスタムは、反応 A + B → C + D を考え、以下の三つの変数を導入しました：
1. s = −(p₁ + p₂)²
2. t = −(p₁ − p₃)²
3. u = −(p₁ − p₄)²

ここで、p₁、p₂、p₃、p₄ はそれぞれ粒子 A、B、C、D の運動量を表します。これらの変数を総称してマンデルスタム変数と呼び、特に s は A と B の重心系におけるエネルギーの二乗を示し、t は A から C への運動量の変化を、u は A から D への運動量の変化を示します。

面白いことに、これらの変数には以下の関係が成り立ちます：

s + t + u = m_A² + m_B² + m_C² + m_D²

この関係より、実際には独立した変数は二つしか存在しないことがわかります。

tチャンネルと uチャンネル

マンデルスタム表示は、同一の散乱過程を異なる視点から観察するために二つの別の反応をも表現します。それが t チャンネルと u チャンネルです。

• - tチャンネルの反応

A + C̅ → D + B̅

• - uチャンネルの反応

A + D̅ → C + B̅

ここで B̅、C̅、D̅ はそれぞれ B、C、D の反粒子です。これらの反応の振幅は、互いに解析接続されており、物理的意味を持っています。

散乱振幅の表現

マンデルスタム表示における散乱振幅 A(s, t, u) は、以下のようにスペクトル関数を用いて記述されます：

```math
A(s, t, u) = \frac{1}{\pi^2} \int \int \frac{\rho_{st}(s', t')}{(s' - s)(t' - t)} ds' dt' + \frac{1}{\pi^2} \int \int \frac{\rho_{su}(s', u')}{(s' - s)(u' - u)} ds' du' + \frac{1}{\pi^2} \int \int \frac{\rho_{tu}(t', u')}{(t' - t)(u' - u)} dt' du'
```

この式において、ρ_{st}、ρ_{su}、ρ_{tu} はそれぞれ異なるマンデルスタム変数の関数です。このように、マンデルスタム表示は粒子物理学において、複雑な散乱過程を理解するための有用なツールとなっています。

参考文献

『物理学辞典』培風館、1984年。

関連項目

• - S行列の理論

マンデルスタム表示は、素粒子物理学の基礎となる理論を理解する上で、非常に重要な役割を果たしています。この表示を通して、粒子同士の相互作用について、多くのことが解明されるのです。

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