解析接続

解析接続：関数の定義域を拡げる技法

解析接続は、複素解析において、関数の定義域を元の領域よりも広い領域に拡張する手法です。ある領域で定義された関数を、その定義域の外側、特に特異点の周囲へと拡張することを目指します。この拡張された関数は、元の関数と元の定義域において一致する必要があります。

関数要素

解析接続の基礎となる概念が「関数要素」です。関数要素とは、リーマン球面上の領域において定義された有理型関数とそのローラン級数展開（正則関数の場合はテイラー級数展開）の組み合わせです。具体的には、ある点を中心としたローラン級数によって、その収束円内で関数の値を表現できます。この級数とその収束円を合わせて関数要素と呼びます。無限遠点の場合は、変数を置き換えて級数展開を行います。

複数の関数要素を考えることで、解析接続が可能になります。例えば、ある関数要素の収束円内に、別の関数要素の中心がある場合、両方の関数要素が一致するならば、それらは同一の関数を表しているとみなせるため、定義域を拡張できます。この操作を繰り返すことで、関数の定義域を段階的に広げていくことができます。

直接解析接続

二つの関数要素が重なる領域において、それらが同一の関数を表す場合、一方の関数を他方の直接解析接続と呼びます。重なる領域が複数の連結成分を持つ場合、直接接続はどの連結成分を選ぶかで変わります。

解析接続と解析関数

直接解析接続を繰り返して得られる関数要素の列を解析接続と呼びます。この解析接続によって定義される関数を解析関数と呼びます。解析接続は直接接続の選び方によって異なる結果を生み出す可能性があります。

解析接続の例

無限級数 \(f_0(z) = \sum_{n=0}^\infty z^n\) を考えましょう。この級数は \(|z| < 1\) で収束し、\(g(z) = \frac{1}{1-z}\) に等しくなります。しかし、\(g(z)\) は \(z
eq 1\) で定義されているため、\(f_0(z)\) よりも広い定義域を持ちます。この \(g(z)\) を \(f_0(z)\) の解析接続と見なせます。

\(f_0(z)\) を別の点、例えば \(z = -1/2\) を中心にテイラー展開することで、新たな関数要素を得ます。この関数要素の収束半径は \(3/2\) であり、元の関数要素の定義域を拡張できます。この操作を繰り返すことで、実部が1より小さい任意の \(z\) に対して、\(f_0(z)\) の値を定義できます。

複素平面上の点 \((1+i)/2\) を中心としたテイラー展開を考えると、収束半径は \(1/\sqrt{2}\) となります。このように、複数の関数要素を組み合わせることで、元の関数の定義域を拡張できます。

曲線に沿った解析接続

複素平面上の二点を結ぶ曲線上で、各点にその近傍で定義された関数要素を対応させます。隣接する関数要素同士が互いに直接解析接続になるように選びます。この操作によって、曲線に沿って解析接続を行うことができます。曲線を定めると、その曲線に沿った解析接続は一意的に定まります。

しかし、特異点が存在する場合、経路によって解析接続の結果が異なる場合があります。この現象は多価関数の存在に関連しており、特異点を囲む経路と囲まない経路では解析接続の結果が異なる可能性があるということです。例えば、自然対数関数は複素数平面では多価関数となり、これはz=0が特異点であることに起因します。

自然な境界

べき級数の収束円周上の全ての点が特異点である場合、その円周を自然な境界と呼びます。自然な境界を超えて関数を解析接続することはできません。

解析接続は複素関数論における重要な概念であり、関数の性質を深く理解する上で不可欠です。様々な数学的分野で応用されています。

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