マーティンの公理

マーティンの公理

概要

数学における集合論には、「マーティンの公理」という重要な概念があります。これは1970年にドナルド・A・マーティンとロバート・M・ソロヴェイによって提唱されたもので、ZFC（ゼルメロ・フレンケル集合論）とは独立した命題です。マーティンの公理は、連続体仮説（CH）に関連しており、CHを仮定しない限りMAを採用するかどうかが問題になります。

マーティンの公理は、非形式的には「連続体濃度未満の任意の基数は、可算基数と同様の振る舞いをする」と表現されます。この概念を理解するには、ラショーヴァ＝シコルスキの補題を考察することが勧められます。この公理は、強制法論法の一部を制御するための原理としても利用されます。

公理の表現と性質

マーティンの公理は、主に2つの表現に分類されます。一つはMA(k)であり、ここでは「任意の可算鎖条件（ccc）を満たす半順序Pと、Pの中の稠密集合の族Dについて、適切なフィルターFが存在し、すべてのDの要素dと交わる」という内容です。もう一つは、MAが「連続体濃度c未満の基数kに対してMA(k)が成り立つ」とするものです。

MA(k)はZFCプロポジションの一部であり、例えばMA(ℵ₀)は真であると証明されています。これはラショーヴァ＝シコルスキの補題と広く知られ、MA(2^{ℵ₀})は偽であることがわかります。

MA(k)の同値性

MA(k)と同値な命題にも注目が必要です。例えば、cccを満たすコンパクトハウスドルフ位相空間Xが疎な部分集合の族で構成されることはできません。また、上方可算鎖条件を満たす半順序集合Pについては、特定の条件を満たす右有向集合Aが存在することが示されます。こうした命題は直感的にMA(k)と同等であるといえます。

マーティンの公理からの帰結

マーティンの公理を用いることで、様々な組み合わせ論的、解析的、位相的な性質を導出できます。例えば、マーティンの公理が成り立つ限り、より小さな濃度を持つコンパクトなハウスドルフ空間X内の任意の点列は、収束する部分列を持つとされます。さらに、濃度がk未満の基底を持つ非自明なウルトラフィルターが存在しないこともつながります。

特にMA(ℵ₁)の帰結は興味深く、cccを満たす位相空間の積が再びcccを維持することが示されています。このことはススリンの仮説、すなわちススリン線が存在しないことにも繋がります。マーティンの公理と連続体仮説を組み合わせると、自由でないホワイトヘッド群が存在することも導かれ、ホワイトヘッドの問題がZFCと独立であることも証明されています。

関連項目

マーティンの公理には、proper forcing axiomやMartin's maximumといった一般化も存在します。また、シェルドン・W・デイヴィスは自身の著作において、ベールの範疇定理がマーティンの公理の考案に影響を与えた可能性を示唆しています。

参考文献

• - Fremlin, David H. (1984). Consequences of Martin's axiom. Cambridge tracts in mathematics, no. 84. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0521250919
• - Jech, Thomas (2003). Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• - Kunen, Kenneth (1980). Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.
• - Martin, D. A.; Solovay, R. M. (1970). "Internal Cohen extensions." Ann. Math. Logic 2 (2): 143–178. doi:10.1016/0003-4843(70)90009-4.

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