ミルズの定数

ミルズの定数について

ミルズの定数（Mills' constant）とは、任意の自然数 n に対して、式 \( \left\lfloor A^{3^{n}} \right\rfloor \) を用いてすべて素数が生成される最小の正実数 A を指します。この概念は、1947年に数学者 William Harold Mills によって提唱され、素数の間隔に関する他の数学者の研究を基に存在が証明されました。たとえば、リーマン予想が正しいと仮定した際、ミルズの定数 A の値は次のように知られています。

\[
A \approx 1.3063778838630806904686144926... \ (A051021)
\]

この数は、今のところ厳密には証明されていないものの、深い数学的な興味を引き起こしています。ミルズの定数から生成される素数は「ミルズ素数」と呼ばれ、これらを求める方法は、ある適当な値 a1 から順に an を取り、以下の条件を満たす最小の素数を見つけることです。

\[
{a_{n-1}}^{3} < a_{n} < (a_{n-1} + 1)^{3}
\]

この不等式の範囲において、素数を順に見つけていくことでミルズ素数が得られます。Hoheisel や Ingham による結果により、十分大きな a に対して、a3 と (a + 1)3 の間には必ず素数が存在することが知られています。

リーマン予想が真であるならば、初期値として a1 を 2 とすることで、具体的なミルズ素数が生成されます。これには以下の数が含まれます：

\[
2, 11, 1361, 2521008887, ... \ (A051254)
\]

ミルズ素数に関連して、推定される上界の1つは \( e^{e^{34}} \) です。この値を超えた範囲でミルズ素数を求めることで、ミルズの定数を証明することが可能ですが、実際にはその試みが非常に難しいことがわかります。たとえば、2018年時点で知られている最大の素数は \( 282589933 - 1 \) であり、これが探求対象の上界よりも遥かに小さな値です。

数値計算と近似

ミルズ素数を利用することで、次のようにミルズの定数 A を計算できます。

\[
A \approx {a_{n}}^{1/3^{n}}
\]

この計算により、リーマン予想を根拠にした A の推定が6,850桁にわたって行われています。有理数としての性質や閉じた数式は知られていないため、その理解や研究が続けられています。

また、ミルズの定数に関連する収束分数もいくつか知られており、以下に代表的な近似分数を示します。

• - 1/1
• - 3/2
• - 4/3
• - 9/7
• - 13/10
• - 17/13

最初の数は「収束分数」として太字で示し、その後も続きます。この分数のリストは、ミルズ定数の理解を深めるための手段とされています。

一般化

興味深いことに、ミルズの定数は c = 3 に限らず、c ≥ 2.106 であれば、任意の自然数 n = 1, 2, 3, ... において素数を生成する A が存在することが知られています。また、ルジャンドル予想が正しい場合には c = 2 にも同様の A が存在します。さらに、これに加えて、床関数を天井関数に置き換えた形式 \( \left\lceil B^{r^{n}}\right\rceil \) でも、r ≥ 3 の条件のもとで、皆素数を生成する B が存在することが示されています。

このように、ミルズの定数やその周辺に関する研究は、素数の特性をより深く理解するための重要なテーマとなっています。

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