ルジャンドル予想

ルジャンドル予想について

ルジャンドル予想は、任意の自然数 n において、その平方数 n² と次の平方数 (n + 1)² の間には必ず少なくとも一つの素数が存在するという予想です。この予想はフランスの数学者アドリアン＝マリ・ルジャンドルによって提案されましたが、2022年の時点においても未解決のままとなっています。

概要

ルジャンドル予想は、素数同士の間隔に関する重要な仮説の一つです。この予想が正しければ、素数 p から次に大きい素数との間隔は、最大でも √p のオーダーであることが示唆されます。また、スウェーデンの数学者ハラルド・クラメールは、素数間隔がより小さくなると予測し、具体的には (log p)² のオーダーになると述べています。この場合、十分に大きな n についてルジャンドル予想が成り立つことになります。

素数定理では、n² と (n + 1)² の間に存在する素数の数量（オンライン整数列大辞典の数列 A014085）は次のように漸近します:

$$\frac{n}{\ln n}$$

この数式は、n が大きくなるほど増加するため、予想の信憑性を高める要因となっています。

進展

1975年には、中国の数学者陳景潤が、任意の自然数 n に対して、n² と (n + 1)² の間には常に素数または半素数が存在することを証明しました。また、イギリスの数学者アルバート・イングハムは、n が十分に大きければ n³ と (n + 1)³ の間にも素数が含まれると示しました。

さらに、ある範囲の自然数について、十分大きな x であれば区間 [x, x + O(x^{21/40})] には必ず素数が存在することも証明されています。この O(x) は、ランダウの記法におけるオーダーを示しています。

最新の計算により、4 × 10¹⁸ までの自然数に対してルジャンドル予想が成り立つことが確認されています。しかし、もし 4 × 10¹⁸ 付近に反例が存在する場合、通常の大きさよりも5000万倍も大きな素数間隔が発生することに繋がります。

関連項目

この予想に関連する他の数学的な仮説には、ベルトランの仮説やリーマン予想、アンドリカの予想があります。これらの問題は素数に関連しており、数論や解析数論において重要な位置を占めています。

ルジャンドル予想は、未解決であるがゆえに多くの数学者の探求の対象となっています。素数の不思議とその分布に対する理解を深めるヒントが、無限の奥深さを持つ数学の世界に眠っています。

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