ミンコフスキーの不等式

ミンコフスキーの不等式は、数学の解析学、特に関数解析学の分野で非常に重要な役割を果たす定理です。この不等式は、Lp空間と呼ばれる関数空間がベクトル空間としての性質に加え、「ノルム空間」としての構造を持つことを確立する上で不可欠です。

Lp空間における関数の「大きさ」を表す概念として、Lpノルム$\|f\|_p$が定義されます。このノルムは、通常のベクトル空間における長さや大きさを一般化したものです。ノルムが満たすべき性質の一つに「三角不等式」があります。これは、二つのベクトル（または関数）の和のノルムが、それぞれのノルムの和を超えないという性質であり、直感的には「二辺の長さの和は他の一辺の長さより短い、あるいは等しい」という幾何学的な事実に対応します。

ミンコフスキーの不等式は、この三角不等式がLp空間のノルムに対して成立することを厳密に証明するものです。定理の名称は、これを研究したドイツの数学者ヘルマン・ミンコフスキーに由来します。

定理の主張

測度空間 $(S, \mu)$ 上で定義された実数値または複素数値関数 $f$ および $g$ がLp空間 $L^p(S)$ の要素であるとします。ここで、$p$ は $1 \leq p \leq \infty$ を満たす実数です。つまり、$f$ および $g$ は $p$ 乗積分可能な関数であるとします。

このとき、これらの関数の和 $f+g$ もまたLp空間 $L^p(S)$ に含まれ、以下の不等式が成立します。

$$ \|f+g\|_p \leq \|f\|_p + \|g\|_p $$

この不等式は、まさにLp空間における三角不等式に他なりません。

$1 < p < \infty$ の場合、この不等式において等号が成立するのは、関数 $f$ と $g$ が非負の定数 $c \geq 0$ を用いて $f = c g$ または $g = c f$ と書けるとき、すなわちほとんど至る所で線形従属である場合に限られます。この性質は、Lpノルムが厳密な意味での距離を与えるための重要な条件となります。

有限次元空間における形

Lp空間の概念は、より身近な有限次元ベクトル空間にも適用できます。例えば、実数または複素数の $n$ 個の成分を持つベクトル空間 $\mathbb{R}^n$ や $\mathbb{C}^n$ を考え、測度として数え上げ測度を採用すると、関数の積分はベクトルの成分の和に対応します。この場合、ミンコフスキーの不等式は、ベクトルの成分 $x_1, \dots, x_n$ と $y_1, \dots, y_n$ に対して、以下のように表現されます。

$$ \left(\sum_{k=1}^n |x_k + y_k|^p\right)^{1/p} \leq \left(\sum_{k=1}^n |x_k|^p\right)^{1/p} + \left(\sum_{k=1}^n |y_k|^p\right)^{1/p} $$

これは、ユークリッド空間におけるベクトルの和の長さ（$p=2$ の場合）が、それぞれのベクトルの長さの和を超えないという、よく知られた三角不等式を $p$ 乗ノルムに拡張したものです。

証明の概要

ミンコフスキーの不等式の証明は、いくつかの重要なステップから構成されます。

まず、もし関数 $f$ と $g$ がそれぞれLp空間に属するならば、その和 $f+g$ もLp空間に属することを示す必要があります。これは、 $|f(x) + g(x)| \leq |f(x)| + |g(x)|$ という通常の三角不等式と、関数 $h(t) = t^p$ ($p > 1$) の凸性などを利用して示されます。

次に、不等式本体の証明に移ります。Lpノルムの定義$\|f\|_p = (\int_S |f(x)|^p d\mu(x))^{1/p}$ を用いて、$\|f+g\|_p^p = \int_S |f+g|^p d\mu$ を評価します。絶対値に関する三角不等式 $|f+g| \leq |f|+|g|$ を利用し、さらに指数 $p$ を持つ項 $|f+g|^p$ を $|f+g| \cdot |f+g|^{p-1}$ と分解します。そして、積分 $\int_S (|f|+|g|)|f+g|^{p-1} d\mu$ を二つの積分の和 $\int_S |f||f+g|^{p-1} d\mu + \int_S |g||f+g|^{p-1} d\mu$ に分けます。

ここで、ヘルダーの不等式が決定的な役割を果たします。例えば、最初の積分 $\int_S |f||f+g|^{p-1} d\mu$ に対してヘルダーの不等式を適用します。この際、$|f|$ を一つの関数、$|f+g|^{p-1}$ をもう一つの関数と見なし、共役指数 $q = p/(p-1)$ を用います。ヘルダーの不等式により、この積分は $\|f\|_p \|f+g\|_q^{p-1}$ で上から押さえられます。同様に、二番目の積分も評価し、これらを合計すると、$\|f+g\|_p^p \leq (\|f\|_p + \|g\|_p) \|f+g\|_p^{p-1}$ という形の不等式が得られます。$\|f+g\|_p
eq 0$ の場合、両辺を $\|f+g\|_p^{p-1}$ で割ることにより、目的のミンコフスキーの不等式 $\|f+g\|_p \leq \|f\|_p + \|g\|_p$ が導かれます。

$p=1$ や $p=\infty$ の場合は、それぞれ別に、あるいは定義に基づいて直接証明されます。

ミンコフスキーの積分不等式

ミンコフスキーの不等式には、積分に関わる拡張版も存在します。二つの測度空間 $(S_1, \mu_1)$ および $(S_2, \mu_2)$ 上で定義された非負の可測関数 $F(x, y)$ ($x \in S_1, y \in S_2$) に対して、以下の不等式が成り立ちます（適切な条件下で）。

$$ \left\| \int_{S_2} F(\cdot, y) d\mu_2(y) \right\|_p \leq \int_{S_2} \|F(\cdot, y)\|_p d\mu_2(y) $$

これは、関数 $F(x,y)$ を $y$ について積分してから $x$ についてLpノルムを計算したものと、$x$ についてLpノルムを計算してから $y$ について積分したものを比較する不等式であり、積分順序の交換とLpノルムの関係を示唆しています。

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