メネラウスの定理

メネラウスの定理

概要

メネラウスの定理は、幾何学において三角形と直線の位置関係に関する重要な定理の一つです。その名は、紀元1世紀の古代ギリシャの数学者であるアレクサンドリアのメネラウスに由来します。この定理は、平面上に与えられた三角形とその各辺（またはその延長）と交わる直線について、これらの交点が満たす線分の比に関する等式を示すものです。特に、3点がある直線上にある（共線である）ための条件としてしばしば用いられます。

定理の内容

平面上の任意の三角形を$ riangle ext{ABC}$とします。また、この三角形を含む平面上に直線lを考えます。この直線lと、三角形の3辺である辺BC、辺CA、辺AB、あるいはそれらの延長線との交点をそれぞれD、E、Fとします。このとき、点Dが辺BC上（またはその延長上）にあり、点Eが辺CA上（またはその延長上）にあり、点Fが辺AB上（またはその延長上）にあるとします。この条件下で、メネラウスの定理は以下の等式が成り立つことを主張します。

$$ \frac{\text{AF}}{\text{FB}} \cdot \frac{\text{BD}}{\text{DC}} \cdot \frac{\text{CE}}{\text{EA}} = 1 $$

ここで、$ ext{AF}$や$ ext{FB}$といった記号は、通常、向きを考慮した符号付き線分の長さを表すと考えられますが、定理の多くの適用例では線分の長さの比として扱われます。等式の左辺は、辺AB、辺BC、辺CAを順にたどりながら、各辺上の交点F, D, Eによって分けられる線分の比を掛け合わせた積になっています。

例えば、点Fは辺AB上の点、点Dは辺BC上の点、点Eは辺CA上の点となります。この順序で、AからFを経てBへ、BからDを経てCへ、そしてCからEを経てAへ戻るというように、三角形の頂点を直線lとの交点を経由して巡るイメージでこの等式を覚えることもできます。

直線lは三角形$ riangle ext{ABC}$と共有点を持っても持たなくても構いません。つまり、直線lが三角形の内部を横断して3辺全てと交わる場合もあれば、三角形の外部を通り、3辺全ての延長と交わる場合など、様々な配置で定理は成り立ちます。

証明の方針

メネラウスの定理の証明方法は複数知られています。代表的なものをいくつか紹介します。

1. 相似な三角形の利用: 頂点Cから辺ABに平行な直線を引きます。この平行線と直線lの交点をKとします。直線lが辺BC、CA、ABと交わる点D、E、Fとの関係から、相似な三角形の組がいくつか現れます。例えば、$ riangle ext{BDF}$と$ riangle ext{CDK}$、$ riangle ext{AEF}$と$ riangle ext{CEK}$などが相似になります。これらの相似な三角形における対応する辺の比の関係を利用することで、定理の等式を導くことができます。

2. 頂点からの垂線の利用: 三角形$ riangle ext{ABC}$の各頂点A、B、Cから直線lに対してそれぞれ垂線を下ろします。これらの垂線の長さや、直線lと辺（またはその延長）との交点F, D, Eの位置関係を考えることで、やはり相似な直角三角形が現れます。これらの相似比を利用して、等式を導き出す方法です。

3. 面積比の利用: 三角形$ riangle ext{ABC}$および直線l上の点によって形成されるいくつかの三角形の面積の比を用いる証明方法です。例えば、点D, E, Fが一直線上にあるという条件から、特定の三角形の面積が他の三角形の面積を用いて表せることを利用します。これらの面積の関係式を組み合わせて整理することで、定理の等式が得られます。

定理の逆

メネラウスの定理には逆が成り立ちます。これは、定理の等式が成り立つ場合に、3点D、E、Fが一直線上にあることを示すものです。

具体的には、三角形$ riangle ext{ABC}$の辺BC、CA、AB上（またはその延長上）にそれぞれ点D、E、Fをとります。もし、これらの点が以下の等式を満たすならば、3点D、E、Fは一直線上にあると言えます。

$$ \frac{\text{AF}}{\text{FB}} \cdot \frac{\text{BD}}{\text{DC}} \cdot \frac{\text{CE}}{\text{EA}} = 1 $$

ただし、この逆定理が成り立つのは、点D、E、Fのうち、三角形$ riangle ext{ABC}$の辺（延長ではなく内部）上にある点の個数が0個または2個である場合に限られます。例えば、全ての点が辺の延長上にある場合（0個）や、1つの点が延長上にあり残りの2点が辺の内部にある場合（2個）などが該当します。

関連事項

メネラウスの定理と密接に関連する定理に「チェバの定理」があります。チェバの定理は、三角形の各頂点と対辺上の点を結んだ3直線が1点で交わる条件を示す定理です。これに対し、メネラウスの定理は三角形の辺上または延長上に取った3点が一直線上にある条件を示すものであり、これら二つの定理は幾何学において互いに双対的な関係にあると見なされます。どちらの定理も、複雑な図形における点や直線の位置関係を代数的な式で表現することを可能にする強力なツールです。

メネラウスの定理は、幾何学の問題を解く上で非常に基本的なツールであり、様々な応用があります。

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