モノイド閉圏

モノイド閉圏（閉モノイド圏）

モノイド閉圏とは、数学の圏論における特別な構造を持った圏を指します。これは、基本的な演算である結合的な積（モノイド積やテンソル積と呼ばれるもの）を持つ「モノイド圏」に、さらに「内部Hom函手」と呼ばれる、対象間の射（矢印）全体を表現する対象を備えた圏のことです。

より具体的に述べると、ある圏がモノイド閉圏であるとは、それがモノイド圏であることに加え、圏内の任意の対象 `B` に対して、対象 `A` を `A` と `B` のモノイド積 `A ⊗ B` へ対応させる函手（圏から圏への構造を保つ写像のようなもの）が、常に右随伴函手を持つことを言います。この右随伴函手は、しばしば `B ⇒ -` や `[B, -]` と表記され、対象 `C` に対して `B` から `C` への内部Hom `B ⇒ C` を与えます。この性質は、圏の射集合の間における特定の同型関係として定式化できます。すなわち、任意の対象 `A`, `B`, `C` について、`A ⊗ B` から `C` への射の集合 `Hom(A ⊗ B, C)` と、`A` から `B ⇒ C` への射の集合 `Hom(A, B ⇒ C)` の間に、対象 `A` と `C` に関して自然な全単射が存在するということです。この全単射は、関数型プログラミングにおける「カリー化」としてよく知られている現象の圏論的な一般化に他なりません。

この文脈で現れる対象 `B ⇒ C` は、「内部Hom」と呼ばれ、圏の内部で `B` から `C` への射の集まりを表すものと考えることができます。この内部Homを構成する函手 `⇒: 𝒞op ⊗ 𝒞 → 𝒞` は、内部Hom函手と呼ばれます。特に、圏のモノイド積が通常の集合論的な直積（デカルト積）である場合、内部Hom `A ⇒ B` は通常の集合論的な冪集合、すなわち `A` から `B` への関数全体の集合 `BA` と一致し、これはしばしば「冪対象（指数対象）」と呼ばれます。この場合、モノイド閉圏は「デカルト閉圏」と呼ばれます。

モノイド閉圏の定義においては、対象 `B` による「テンソル右乗」（`A ↦ A ⊗ B`）が右随伴を持つことを要求しました。これを「右閉モノイド圏」と呼びます。同様に、対象 `A` による「テンソル左乗」（`B ↦ A ⊗ B`）が右随伴を持つ場合、「左閉モノイド圏」と呼びます。左右両方の閉性を満たすモノイド圏は「両側閉モノイド圏（双閉モノイド圏）」と呼ばれます。興味深いことに、モノイド圏が「対称」（モノイド積 `A ⊗ B` と `B ⊗ A` の間に自然な同型がある性質）である場合、それが右閉であることと左閉であることは同値になります。したがって、「対称閉モノイド圏」と言うときは、左右どちらの閉性についても言及する必要はありません。これは、より一般的な組み紐付きモノイド圏についても同様に成り立ちます。

モノイド閉圏の概念は、モノイド圏に内部Hom函手が存在するという視点からだけでなく、閉圏にモノイド積函手が存在するという逆の視点からも定式化できます。つまり、内部Hom函手 `⇒` に対して、その左随伴函手としてモノイド積 `⊗` の存在を定義とすることも可能です。このように、内部Homとモノイド積が随伴関係にある構造として捉えることもでき、これが「モノイド閉圏」あるいは「閉モノイド圏」という名称の由来の一つとも言えます。

例

1. 集合と写像の圏 (Set)
集合の圏 `Set` に、モノイド積として集合の直積 `A × B` を考えます。このとき、任意の集合 `A` から `B` への写像全体の集合を `BA` と書くことにすると、この圏はモノイド閉圏になります。ここでの内部Hom `A ⇒ B` は、まさにこの写像全体の集合 `BA` です。これはカリー化の概念と直接的に関連しており、特に計算機科学、例えば関数型プログラミング言語における関数の扱い方と密接に結びついています。`Set` はデカルト積をモノイド積とするため、デカルト閉圏でもあり、したがって対称モノイド閉圏の特別な例です。

2. 有限次元ベクトル空間と線型写像の圏 (FdVect)
有限次元ベクトル空間を対象とし、線型写像を射とする圏 `FdVect` に、モノイド積として通常のベクトル空間のテンソル積 `U ⊗ V` を考えます。この圏もモノイド閉圏です。この場合の内部Hom `U ⇒ V` は、`U` から `V` への線型写像全体の集合に適切なベクトル空間の構造を入れた空間に相当します。この圏はさらに、コンパクト閉圏と呼ばれる性質も持ち合わせており、コンパクト閉圏は常に（内部Homを `V ⊗ U*` と定義することで）対称モノイド閉圏となります。

これらの例からもわかるように、モノイド閉圏は様々な数学的構造の中に現れ、随伴という抽象的な概念を通じて、積と内部的な関数空間（あるいは写像の集まり）の関係性を統一的に捉えるための強力な枠組みを提供します。

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