線型写像

線型変換（線型写像）詳解

線型変換、または線型写像とは、ベクトル空間の構造を維持する特別な写像です。簡単に言うと、ベクトルの加法とスカラー倍という演算を保つ写像です。この性質により、直線を直線に移すという幾何学的な解釈も持ちます。

概要

抽象代[[数学]]の観点から見ると、線型写像はベクトル空間間の準同型写像です。つまり、ベクトル空間の加法とスカラー倍の構造を保つ写像です。同一の体上のベクトル空間全体は、線型写像を射として圏を成します。

「線型変換」と「線型写像」は同義語として扱われることもありますが、始域と終域が同じベクトル空間の場合（自己準同型）に「線型変換」を用いることもあります。また、特に無限次元空間における線型写像は「線型作用素」と呼ばれます。スカラー値への線型写像は「線型汎関数」や「一次形式」とも呼ばれます。

定義

体𝔽上のベクトル空間VとWについて、写像f: V → Wが線型写像であるとは、以下の条件を満たすことを言います。

加法性: 任意のx, y ∈ Vに対して、f(x + y) = f(x) + f(y)
斉一次性: 任意のスカラーc ∈ 𝔽と任意のx ∈ Vに対して、f(cx) = cf(x)

これらの条件をまとめて線型性と呼びます。また、線型性は以下のようにも表現できます。

∑ᵢ₌₁ʳλᵢf(vᵢ) = f(∑ᵢ₌₁ʳλᵢvᵢ) (λᵢ ∈ 𝔽, vᵢ ∈ V)

例と反例

恒等写像: 線型写像です。
零写像: 線型写像です。
f(x) = ax (aは定数): 線型写像です。
f(x) = x + 1: 線型写像ではありません。（アフィン変換です）
f(x) = x²: 線型写像ではありません。
m×n行列A: 列ベクトルx ∈ ℝⁿを列ベクトルAx ∈ ℝᵐへ写す線型写像です。
adx(y) = xy - yx: 線型写像です。
区間上の定積分: 実数値可積分函数の空間からℝへの線型写像です。
不定積分: 積分定数の不定性があるため、線型写像とはみなせません。
微分: 可微分函数の空間から函数の空間への線型写像です。
期待値E[X]: 線型写像です。
分散V[X]: 線型写像ではありません。

核・像と全射性・単射性

線型写像f: V → Wについて、

像Im(f): {f(v) ∈ W | v ∈ V}
核Ker(f): {v ∈ V | f(v) = 0}

像と核はそれぞれWとVの線型部分空間です。これらの次元をそれぞれ階数rk(f)、退化次数nul(f)と呼びます。有限次元空間では、dim(V) = rk(f) + nul(f)が成り立ちます。（階数・退化次数定理）

また、fの余核Coker(f) = W/Im(f)を定義できます。核と余核はそれぞれ単射性と全射性からのずれを測ります。

fが単射⇔Ker(f) = {0}
fが全射⇔Coker(f) = {0}

全単射な線型写像は線型同型写像と呼ばれます。

線型写像の演算

線型写像に対して、いくつかの演算が定義できます。

スカラー倍: af(v) = a(f(v))
和: (f₁ + f₂)(v) = f₁(v) + f₂(v)
合成: 線型写像f: V → Wとg: W → Xの合成g ∘ f: V → Xも線型写像です。
逆写像: 全単射な線型写像の逆写像も線型写像です。
テンソル積: 双線型写像から線型写像を誘導できます。

線型写像の空間

VからWへの線型写像全体の集合Hom𝔽(V, W) = L(V, W)は、和とスカラー倍によってそれ自身ベクトル空間となります。W = 𝔽の場合、L(V, 𝔽) = VはVの双対空間と呼ばれます。L(V, W) ≅ V* ⊗ Wという同型が成り立ちます。

VからV自身への線型写像は線型変換と呼ばれ、その全体End𝔽(V)は結合多元環を成します。同型な線型変換は自己同型と呼ばれ、その全体GL(V)は一般線型群を成します。

行列表現

有限次元ベクトル空間の間の線型写像は行列で表現できます。V, Wの基底をそれぞれ選び、線型写像fの表現行列Afを定義すると、f(v) = Afvと表せます。基底を変換すると、表現行列は相似変換で変化します。

HomK(V, W) ≅ Mat(m, n; K) (dim(V) = n, dim(W) = m)
EndK(V) ≅ Matₙ(K) (V = W)

が成り立ちます。

線型写像の連続性

無限次元ベクトル空間では、線型写像の連続性が重要な概念となります。有限次元空間上の線型写像は常に連続ですが、無限次元空間では不連続な線型作用素が存在します。ノルム空間では、線型写像の連続性は有界性と同値です。例えば、可微分関数の微分作用素は有界でない（不連続）場合があります。

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