モースポテンシャル

モースポテンシャルの概要

モースポテンシャル（Morse potential）は、二原子分子における原子間の相互作用をモデル化する際に非常に有用なポテンシャルで、物理学者フィリップ・M・モースにちなんで名付けられました。このポテンシャルは、原子間の振動を模倣するモデルとして、特に非結合状態における影響を明示的に考慮している点で注目され、調和振動子モデル（QHO）よりも精度の高い近似が得られます。

モースポテンシャルの利点は、振動の非調和性や、赤外分光における倍音（overtone）、および熱的な結合音によるバンド（hot band）を含む現象を説明できることです。このように、分子の複雑な振動状態を理解するために、モースポテンシャルは効果的な手段となります。

ポテンシャルエネルギー関数

モースポテンシャルの定義は、次のような数式で表されます。

$$
V'(r) = D_e \left(1 - e^{-a(r - r_e)}\right)^{2}
$$

ここで、\( r \) は原子間距離、\( r_e \) は平衡結合距離、\( D_e \) はポテンシャルの井戸の深さ、\( a \) はポテンシャルの幅を調整する定数です。\( a \) が小さくなるほど井戸は広くなります。また、結合解離エネルギーは井戸の深さから零点エネルギーを引くことで求めることができます。

ポテンシャルの基準点を調整することで、ポテンシャル関数は様々な形に変えることができ、例えば原子・界面間の相互作用においては、次のように修正されます。

$$
V(r) = D_e \left( e^{-2a(r - r_e)} - 2 e^{-a(r - r_e)} \right)
$$

これは、短距離での斥力と長距離での引力の効果を組み合わせた形を示し、レナード-ジョーンズ・ポテンシャルと類似しています。

振動状態とエネルギー

モースポテンシャルにおける固有エネルギーやエネルギー固有状態は、ハミルトニアンの因子分解を用いて算出します。このためには、次のシュレーディンガー方程式を考慮します。

$$
\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}} + V(r)\right)\Psi_n(r) = E_n \Psi_n(r)
$$

新しい変数への置き換えを行うことで、この方程式はより単純な形になります。最終的には、次のように表現される固有エネルギーを求めることができます。

$$
E_n = h
u_0 \left(n + \frac{1}{2} \right) - \frac{\left[h
u_0 \left(n + \frac{1}{2} \right)\right]^{2}}{4D_e}
$$

ここで、\( h \) はプランク定数、\( n \) は量子数、そして\(
u_0 \) は振動数です。モースポテンシャルでは、振動準位の間隔は、量子数 \( n \) の増加とともに減少します。これにより、現実の分子の非調和性がよく再現されます。

ただし、\( n \) がある値、すなわち限界値を超えると、エネルギーの間隔は負になるため、モースポテンシャルのモデルはその範囲を超えて破綻します。この結果、モースポテンシャルは有限の束縛状態のみを許容することになります。\( n \) がこの制限内であれば、モースポテンシャルは実際の振動構造を適切に近似します。

モース長距離ポテンシャル

モースポテンシャルは、モース長距離ポテンシャルとして拡張され、分光学などにおいて重要な役割を果たしています。具体的には、二原子分子の分光データやビリアル係数の表現において、標準的に用いられます。このポテンシャルは、さまざまな分子に対して適用されており、N2やCa2などの二原子分子に関する研究で実績があります。また、多原子分子の場合にはさらに高度なポテンシャルが用いられることが一般的です。

参考文献

• - Lide, D. R. (Ed.). (2006). CRC Handbook of Chemistry and Physics, 87th ed.
• - Morse, P. M. (1929). “Diatomic molecules according to wave mechanics. II. Vibrational levels”. Phys. Rev.
• - Girifalco, L. A., & Weizer, G. V. (1959). “Application of the Morse Potential Function to cubic metals”. Phys. Rev. 114(3), 687.
• - Shore, B. W. (1973). “Comparison of matrix methods applied to the radial Schrödinger eigenvalue equation: The Morse potential”. J. Chem. Phys. 59(12), 6450.

このように、モースポテンシャルは多くの分子の振動に関する重要なモデルを提供し、現代の物理学や化学において広く応用されています。

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