ヤコビの三重積

ヤコビの三重積

ヤコビの三重積（Jacobi triple product）は、計算や解析において広く利用される恒等式であり、カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビによって1829年に発表されました。この恒等式はテータ関数に基づいており、特に数論や解析的な問題に対して重要な役割を果たします。

定義

ヤコビの三重積は、次のように表されます：

$$
\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{\pi i \tau n^{2} + 2 \pi in v} = \prod_{m=1}^{\infty} \left(1 - e^{2m\pi i \tau}\right) \left(1 + e^{(2m-1)\pi i \tau + 2\pi iv}\right) \left(1 + e^{(2m-1)\pi i \tau - 2\pi iv}\right)
$$

ここで、$\tau$は複素数で、$\operatorname{Im} \tau > 0$という制約があります。

この式は、無限級数の形で左辺が右辺に等しいという形になっています。右辺は, 一連の無限積を示しており、各項はテータ関数の特性に基づいています。

変数変換

この恒等式を理解するために、次の変数変換を考えます：

• - $q = e^{\pi i \tau}$ および $z = e^{2 \pi i v}$

すると、ヤコビの三重積は次のように書き換えられます：

$$
\sum_{n=-\infty}^{\infty} q^{n^{2}} z^{n} = \prod_{m=1}^{\infty} \left(1 - q^{2m}\right) \left(1 + q^{2m-1} z\right) \left(1 + q^{2m-1} z^{-1}\right)
$$

これにより、数論における深い結果が導かれることがあります。

証明

ヤコビの三重積の証明として、直接的な証明とラマヌジャンの和公式を利用した間接的な証明があります。

直接的な証明

直接の証明では、左辺をテータ関数 $\vartheta(v, \tau)$ として、右辺を $\Theta(v, \tau)$ と置き、右辺が疑二重周期に従うことを示します。従って、次のように示されます：

• - $\Theta(v + 1, \tau) = \Theta(v, \tau)$
• - $\Theta(v + \tau, \tau) = e^{-\pi i \tau} \Theta(v, \tau)$

このようにして、複数の恒等式を用いて、ヤコビの三重積が成り立つことが証明されます。

ラマヌジャンの和公式

ヤコビの三重積は、ラマヌジャンの和公式の特殊な形としても表せます。この公式により、より多くの数論的な結果が得られ、特に$q$が$<1$である場合に利用されます。

関連項目

• - ワトソンの五重積
• - オイラーの五角数定理

参考文献

• - Jacobi, C. G. J. (1829). Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum.
• - Andrews, G. E. (1965). A simple proof of Jacobi's triple product identity, American Mathematical Society.
• - Wright, E. M. (1965). An Enumerative Proof of An Identity of Jacobi, London Mathematical Society.

以上が、ヤコビの三重積の定義と重要性、証明の概要、関連情報についての説明です。この恒等式は、解析学や数論での問題解決のために非常に重宝されています。

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