有界入力有界出力安定性とは？意味をやさしく解説

BIBO安定性（有界入力有界出力安定性）とは

有界入力有界出力安定性（BIBO安定性）とは、信号処理や制御理論におけるシステム安定性の一種で、システムに入力される信号が有限の範囲内であれば、出力される信号も必ず有限の範囲内になる性質を指します。つまり、入力がある一定の大きさを超えないならば、出力も無限に発散することなく、安定した状態を保つシステムをBIBO安定であると言います。

有界な信号

信号の振幅がある有限の値 \(B\) を超えない場合、その信号は「有界である」と言います。数学的には、離散時間信号 \(h[n]\) の場合、すべての \(n\) に対して \(|h[n]| \leq B\) が成り立ち、連続時間信号 \(h(t)\) の場合、すべての \(t\) に対して \(|h(t)| \leq B\) が成り立つことを意味します。

LTIシステムにおける時間領域の安定条件

線形時不変（LTI）システムにおけるBIBO安定性の条件は、インパルス応答の性質によって定義されます。

連続時間システム

連続時間システムがBIBO安定であるための必要十分条件は、そのインパルス応答が可積分であること、すなわちそのL1ノルムが存在することです。

離散時間システム

離散時間システムがBIBO安定であるための必要十分条件は、そのインパルス応答が可総和であること、すなわちその \(\ell^1\) ノルムが存在することです。

十分性の証明

離散LTIシステムを例に、BIBO安定性の十分条件を証明します。インパルス応答を \(h[n]\)、入力を \(x[n]\)、出力を \(y[n]\) とすると、出力は入力とインパルス応答の畳み込みで表されます。

\(y[n] = x[n] h[n]\)

ここで \(\) は畳み込みを意味します。畳み込みの定義から、出力の絶対値は以下のようになります。

\(|y[n]| = \left| \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[n-k]h[k] \right| \leq \sum_{k=-\infty}^{\infty} |x[n-k]| |h[k]|\)

入力 \(x[n]\) の最大値を \(||x||_{\infty}\) とすると、上記の式は次のようになります。

\(|y[n]| \leq ||x||_{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty} |h[k]|\)

もし \(h[n]\) がBIBO安定であれば、\(\sum_{k=-\infty}^{\infty} |h[k]| = ||h||_1 < \infty\) となり、入力 \(x[n]\) が有界ならば、\(|y[n]|\) も有界であると言えます。

LTIシステムにおける周波数領域の安定条件

周波数領域におけるBIBO安定性の条件は、ラプラス変換やZ変換の収束半径（ROC）によって定義されます。

連続時間信号

連続時間因果LTIシステムにおける安定性の条件は、ラプラス変換のROCが虚軸を含むことです。システムが因果的である場合、ROCはs平面上で、極の実部が最大の極の実部よりも大きい領域になります。この最大の実部を収束座標と呼びます。BIBO安定性を持つには、システムの全ての極がs平面の左半分に存在する必要があります。

離散時間信号

離散時間因果LTIシステムにおける安定性の条件は、Z変換のROCが単位円を含むことです。システムが因果的な場合、ROCはz平面上で、極の絶対値が最大の極の絶対値よりも大きい領域になります。BIBO安定性を持つには、システムの全ての極がz平面上の単位円の内側に存在する必要があります。

まとめ

BIBO安定性は、システムが実用的に使用可能であるための重要な条件です。入力が有界である限り、出力も有界であるという保証は、システムの安定性と信頼性を確保する上で不可欠です。特に、信号処理や制御システムの設計においては、BIBO安定性を考慮することが重要になります。

有界入力有界出力安定性