ラグランジアン (場の理論)

ラグランジアン場の理論

ラグランジアン場の理論は、古典場理論の一形態として、ラグランジュ力学を場の理論に拡張したものです。この理論は、離散的な粒子の動きを扱うラグランジュ力学とは異なり、無限に多くの自由度を持つ連続的な場の解析に利用されます。これにより、物理学における様々な現象をより深く理解できるようになります。

ラグランジアン密度と作用の定義

ラグランジアン密度は ${\mathcal{L}}$ で示されることが一般的で、これは物理系の状態を記述するための重要な量を含んでいます。この理論では、運動方程式は作用原理に基づき記述され、オイラー＝ラグランジュ方程式を介して得られます。従属変数は、時空の中の事象や多様体の点に置き換えられるため、場の状態を空間的に表現することが可能です。

作用原理

作用 $S$ は、以下のように定義されます：
\[ S[\varphi] = \int \mathcal{L}\left( \varphi,
abla \varphi, \frac{\partial \varphi}{\partial t}, \mathbf{x}, t \right) d^3x dt \]
このように、ラグランジアンは時空全体の積分を通じてシステムの動作原理を決定します。

スカラー場とラグランジアン

特定のスカラー場に対するラグランジアン密度の形式は次の通りです：
\[ \mathcal{L}(\phi,
abla \phi, \frac{\partial \phi}{\partial t}, x, t) \]
複数のスカラー場を扱うことも可能で、その場合は各場の相互作用を考慮に入れた形で表現されます。

その他の場の一般化

ラグランジアン場の理論は、ベクトル場やテンソル場にも適用でき、フェルミ粒子やボース粒子の挙動を記述する際に不可欠なツールとなります。たとえば、スピノル場を用いてフェルミ粒子を記述し、ボース粒子はテンソル場として表現されることが一般的です。

具体例：ニュートン重力

古典的な重力場のラグランジアンは次のようになります：
\[ \mathcal{L}(x, t) = -\rho(x, t)\Phi(x, t) - \frac{1}{8\pi G}(
abla \Phi(x, t))^2 \]
この表現により、質量密度と重力ポテンシャルの関係を定量的に把握することができます。そして、作用の変分を通じて加速度やその他の力ごとの影響を求めることが可能となります。

アインシュタイン重力とラグランジアン

アインシュタインの一般相対性理論において、物質場の存在を考慮したラグランジアン密度は次のように定義されます：
\[ \mathcal{L}_{GR} = \mathcal{L}_{EH} + \mathcal{L}_{matter} \]
ここで、$\mathcal{L}_{EH}$ はアインシュタイン・ヒルベルト作用から導かれた項で、この式より、時空の構造と物質の相互作用が非常に緊密に結びついていることがわかります。

電磁気学とラグランジアン

特殊相対論の下で、電磁気学のラグランジアンは、その演算がローレンツ不変性を保つように設計されています。電子と電磁気場との相互作用を正確に記述するため、ラグランジアンは次のように表されます：
\[ \mathcal{L}_{QED} = i\hbar c\bar{\psi}{D}\ ext{/} \psi - mc^2\bar{\psi}\psi - \frac{1}{4\mu_0}F^{\mu
u}F_{\mu
u} \]
この形のラグランジアンは、量子電磁気学において非常に重要な役割を果たしています。

結論

ラグランジアン場の理論は、物理学の幅広い応用に貢献しており、その柔軟性は多様な現象の理解を助けます。この理論の枠組みを利用することで、現実の物理系统における相互作用をより深く洞察することができます。

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