多様体

多様体とは

多様体（manifold）とは、解析学（微分積分学、複素解析）を展開する上で重要な役割を果たす空間の概念です。大まかに言うと、多様体は局所的にユークリッド空間（平坦な空間）のように見える図形や空間のことです。

直感的な説明

多様体を理解するための直感的な例として、地球の地図作成を考えてみましょう。地球は丸い球体ですが、私たちはその表面に地図を描き、位置を特定したり、距離を測ったりすることができます。この地図は、地球全体を一枚の平面に正確に表現することはできませんが、局所的な範囲であれば、歪みを少なくして表現することができます。

多様体もこれと似ており、全体としては複雑な形をしているかもしれませんが、その一部分を切り取って見ると、平坦なユークリッド空間のように見えるという性質を持っています。この「小さな地図」を繋ぎ合わせることで、多様体全体の構造を把握することができます。

例えるなら、地球儀を想像してください。地球儀全体は丸い球体ですが、その表面に貼られた世界地図は、小さな地図を繋ぎ合わせて作られています。各地図は平坦ですが、それらを繋ぎ合わせることで、地球全体を表現することができます。多様体も、このように局所的な「地図」を貼り合わせて構成される空間と考えることができます。

多様体の定義

多様体を厳密に定義するためには、いくつかの数学的な概念が必要です。

1. 位相空間: 多様体はまず位相空間と呼ばれる空間の一種です。位相空間とは、点の近さや連続性を定義することができる空間のことです。
2. 局所座標系: 多様体上の各点には、その周辺の領域をユークリッド空間の一部と同一視するための局所座標系（チャート）と呼ばれるものが存在します。これは、地球の地図で言うところの緯度と経度のようなものです。
3. 座標変換: 異なる局所座標系が重なり合う部分では、座標変換と呼ばれる変換によって、異なる座標系同士の関係が定義されます。この座標変換は、滑らかである必要があります。

これらの条件を満たす空間が多様体です。

様々な多様体の例

1. ユークリッド空間: 最も基本的な多様体の例は、ユークリッド空間自体です。例えば、2次元の平面や3次元の空間は、それ自体が多様体です。
2. 円や球: 円や球の表面も多様体です。これらは曲面ですが、局所的には平面のように見えます。
3. トーラス: ドーナツのような形のトーラスも多様体です。これも曲面ですが、局所的には平面のように見えます。
4. 射影空間: 射影空間は、少し抽象的ですが、多様体の一種です。例えば、射影平面は、ユークリッド空間では表現できないような、少し変わった性質を持った多様体です。

多様体と座標系

多様体の重要な特徴は、座標系を自由に貼り付けることができるということです。地球の地図のように、多様体には場所に応じて異なる座標系を用いることができます。そして、それらの座標系は互いに滑らかに変換することができます。

座標系は、多様体上の点の位置を特定したり、関数を定義したり、微積分を行ったりする上で重要な役割を果たします。

可微分多様体

特に重要なのは、座標変換が微分可能な多様体です。これを可微分多様体と呼びます。可微分多様体の上では、微分や積分などの解析学の道具を使うことができます。

可微分多様体は、物理学や工学において、様々な現象を記述するための基本的な道具として使われています。

多様体上の関数と写像

多様体の上では、関数や写像を考えることができます。関数は、多様体上の各点に対して、実数や複素数などの値を対応させるものです。写像は、多様体上の点を別の多様体上の点に対応させるものです。

これらの関数や写像の連続性や微分可能性を考えることで、多様体の構造をより深く理解することができます。

多様体の一般化

多様体の概念は、さらに一般化することができます。

1. 無限次元多様体: 有限次元の多様体だけでなく、無限次元の多様体も考えることができます。関数空間などは、無限次元多様体の例です。
2. 境界付き多様体: 境界を持つ多様体も考えることができます。例えば、円板は、境界を持つ2次元多様体です。
3. 軌道体: 軌道体は、多様体の一般化の一つで、特異点を持つような空間を扱うことができます。

まとめ

多様体は、数学、物理学、工学など、様々な分野で重要な役割を果たす概念です。局所的な平坦性と、それらの平坦な部分を繋ぎ合わせることで、複雑な形状を持つ空間を扱うことができるのが、多様体の強みです。

多様体の理解は、現代数学や物理学を深く理解するための第一歩と言えるでしょう。

歴史

多様体の概念は、19世紀の数学者リーマンによって導入されました。リーマンは、曲がった空間の幾何学を研究する中で、多様体という概念を必要としました。

リーマンのアイデアは、その後の数学や物理学に大きな影響を与え、アインシュタインの相対性理論の基礎となるなど、現代科学において不可欠なものとなっています。

多様体の歴史を振り返ると、ロバチェフスキーの双曲幾何学やガウスの曲面論など、様々な幾何学が多様体論に統合されたことがわかります。

多様体は、幾何学における飛躍的な進歩であり、今もなお活発に研究されている分野です。

多様体の例 (詳細)

アフィン空間

最も単純な多様体の例は、m次元ユークリッド空間Rm自身です。これは、座標近傍系として恒等写像を用いることで、m次元解析多様体とみなすことができます。

開部分多様体

多様体Mの開集合Vに対して、Vを新たな多様体とみなすことができます。これをMの開部分多様体と呼びます。

円周と球面

単位円やm次元単位球面も多様体です。それぞれ適切な局所座標系を導入することで、多様体の構造を持つことが示されます。

積多様体

二つの多様体M1とM2の直積M1×M2も、新しい多様体として定義できます。これにより、円柱やトーラスといった多様体を構成することができます。

射影空間

射影空間は、ユークリッド空間とは異なる、より複雑な構造を持つ多様体です。直線や平面といった幾何学的対象を点として捉え直すことで、多様体としての構造を導入できます。

多様体上の関[数]

多様体M上で定義された関数fは、各点pに対して実数値f(p)を対応させます。多様体上には局所座標系があるため、関数を座標を用いて表現し、微積分などの計算を行うことができます。

多様体の間の写像(詳細)

多様体M1からM2への写像fは、M1上の点をM2上の点に対応させます。写像の連続性や微分可能性は、局所座標表示を用いて定義されます。また、写像が全単射であり、かつ逆写像も滑らかである場合、微分同相写像と呼びます。

多様体上の[曲線]

多様体M上の曲線は、実数の開区間IからMへの写像φで与えられます。曲線は、点の集合ではなく、写像自体を指します。曲線の微分可能性も、多様体上の写像の場合と同様に定義されます。

多様体の一般化(詳細)

無限次元多様体

有限次元多様体の定義を拡張することで、無限次元の多様体を定義することができます。例としてヒルベルト多様体やバナッハ多様体が挙げられます。

軌道体

軌道体は、多様体の一般化であり、特異点をもつような空間を扱うことができます。

代数多様体とスキーム

代数多様体は、多様体の一例であり、代数幾何学において重要な役割を果たします。

滑層化空間

滑層化空間は、多様体の「かけら」を貼り合わせて構成される空間です。

CW複体

CW複体は、異なった次元の円盤を貼り合わせて構成される位相空間です。

ホモロジー多様体

ホモロジー多様体は、ホモロジー理論の観点から多様体のように振る舞う空間です。

微分空間

シコルスキー微分空間は、集合と実関数の族によって定義される空間です。

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