ラショーヴァ＝シコルスキの補題

ラショーヴァ＝シコルスキの補題

ラショーヴァ＝シコルスキの補題は、数学基礎論において強制法に関連する基本的な補題の一つです。この補題は、ヘレナ・ラショーヴァとローマン・シコルスキの名に由来しています。強制法の議論で非常に重要な概念である稠密性とフィルターの特性を結びつける役割を果たしています。

補題の内容

この補題によると、強制概念 $(P, ≤)$ において、部分集合 $D$ が P 内で稠密であるためには、任意の元 $p∈P$ に対して、$d≤p$ となる $d∈D$ が存在しなければなりません。また、$P$ のフィルター $F$ が $D$-ジェネリックであるとは、すべての $E∈D$ に対して $F∩E ≠ ∅$ であることを意味します。

具体的には、次のような命題が成り立ちます：

「$(P, ≤)$ を半順序とし、$p∈P$ が存在する場合、$D$ が $P$ の稠密部分集合の可算の族であるならば、$F$ という P の $D$-ジェネリックフィルターが存在する。」

このように、$D$ の可算性を利用することによって、強制法の議論を推進することができます。

証明の流れ

補題の証明は次のように進行します。まず、$D$ が可算であるため、その要素に基づいて P の稠密部分集合に名前を付けていきます。すなわち、$D$ の要素を $D_1, D_2, …$ と名付けます。

仮定として、元 $p∈P$ が存在するとします。このとき、$D$ の稠密性に基づき、$p_1∈D_1$ であって $p_1≤p$ となるように選ぶことができます。続いて、さらに $p_2≤p_1≤p$（ただし、$p_i∈D_i$）となるように次々と $p_i$ を$D$ から選んでいきます。

その結果、$G = \{ q ∈ P : ∃ i, q ≥ p_i \}$ を定義することで、条件を満たす $D$-ジェネリックフィルターが構成されます。この補題は、マーティンの公理と同等であることも示されています。

実例の紹介

具体的な例として、半順序 $(P, ≥) = (Func(X, Y), ⊂)$ を考えます。ここで、$D_x = \{ s ∈ P : x ∈ dom(s) \}$ と定義します。もし $X$ が可算であれば、この補題により、$\, F = \{ D_x : x ∈ X \}$ から $D$-ジェネリックフィルターを生成することができ、$igcup F$ は関数 $f: X → Y$ になります。

逆に、$D$ が非可算の場合、濃度が $2^{ ext{ℵ}_0}$ よりも小さいことが求められるため、半順序 P が可算鎖条件を満たしていることが必要です。このように、マーティンの公理の観点から議論を発展させることができます。

関連項目

• - ジェネリックフィルター
• - マーティンの公理

参考文献

• - Ciesielski, Krzysztof. Set Theory for the Working Mathematician. Cambridge University Press, 1997. ISBN 0-521-59465-0
• - Kunen, Kenneth. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. North-Holland, 1980. ISBN 0-444-85401-0

外部リンク

Tim Chow の新しいsgroup の記事「Forcing for dummies」では、強制法の基本的な概念について、技術的な詳細を省いた形で良い入門を提供しています。

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