ラングレーの問題

ラングレーの問題は、イギリスの数学者E. M. ラングレーが1922年に発表した平面幾何学に関する有名な問題です。一見単純な三角形内の角度を求める問題ですが、初等幾何学的な解法が容易には見つからず、発表当時は多くの数学者を悩ませました。

問題の概要

この問題は、次のような設定で与えられます。

AB = AC かつ ∠BAC = 20° である二等辺三角形 ABC を考えます。この三角形の辺 AB 上に点 E を、辺 AC 上に点 D をそれぞれ取ります。このとき、∠CBD = 60° および ∠ECB = 50° となるようにこれらの点の位置を定めた上で、最終的に ∠BDE の角度を求めるというものです。

元の問題は三角形 ABC を基本としていますが、点 A を省いて四角形 BCDE として提示されることもあります。

歴史

この問題は、1922年10月に出版された数学雑誌 "The Mathematical Gazette" に、ラングレー自身によって "A Problem" というタイトルで掲載されました。その難しさから多くの関心を集め、翌年5月号の特集記事では様々な数学者から寄せられた複数の解法が紹介されています。実は、発表以前の1916年には既にケンブリッジ大学の試験に出題された記録もあり、単なる新作問題ではなく、数学史において古典的な難問の一つとして位置づけられています。日本においても、1972年に灘中学校の入学試験で出題され、その名が広く知られるきっかけとなりました。

解法

ラングレーの問題には、いくつかの異なる解法が存在します。特に、中学校や高校で学ぶ範囲の図形知識だけで解ける「初等幾何学的解法」が複数発見されていることが特徴です。

代表的な初等幾何学的解法としては、以下のようなものが挙げられます。

三角形の内部に補助線を引いて合同な図形や二等辺三角形を作り出し、角度を計算していく方法。例えば、BD=BFとなる点FやAD=AGとなる点Gを適切に配置し、合同や二等辺三角形の性質を利用するアプローチがあります。
BCに平行な線を補助線として引き、できた四角形が凧形（対角線が直交し、一片の対角線が他を二等分する四角形）になることを示す方法。この解法は山本矩一郎氏によって見出され、「フランクリンの凧」という別名で呼ばれることもあります。
AC上にBC=BFとなる点Fをとり、二等辺三角形の性質からFE=FDを示す方法。

これらの初等幾何的な手法の他にも、三角関数や正弦定理などを駆使して角度を計算する「三角関数を用いた解法」も存在します。

いずれの方法を用いても、求めるべき ∠BDE の角度は 30° となります。

関連する概念

ラングレーの問題は、いくつかの興味深い数学的概念と関連しています。

正十八角形との関連：点Aを中心とし、ABを半径とする円を描くと、問題の三角形の底辺であるBCはその円に内接する正十八角形の一辺と一致します。問題に登場する他の線分も、この正十八角形の様々な対角線の一部として解釈することができます。これは、なぜ問題設定の角度（20°, 60°, 50° など）が整数値であるか、そして答えも整数値（30°）となるのかの背景を示唆しています。

整角四角形・整角三角形：ラングレーの問題は、より広い「整角問題」というカテゴリーに属します。
整角四角形とは、4つの辺と2つの対角線のなす角度が全て整数となる四角形です。図中の4つの既知の角度から別の未知の角度を求める問題を「整角四角形問題」と呼びます。ラングレーの問題は、特定の角度の組み合わせ（20°, 60°, 50°, 30°, 30°）を持つ整角四角形問題の一例と見なせます。興味深いことに、与えられた4つの角度が全て整数であっても、求められる角度が必ずしも整数にならない場合も存在します。
* 整角三角形は、三角形の内部に1点をとり、その点と頂点を結ぶ線分と三角形の辺がなす角度が全て整数となる図形です。これも整角四角形と同様に、特定の角度から別の角度を求める問題として扱われます。整角三角形は、平面上の4点間の角度関係という点で整角四角形と類似した性質を持ちます。

これらの整角問題については、多くの数学者によって初等幾何学的な解法を体系的に見つけ出す研究が行われており、2015年までにほとんど全ての問題について初等的な解法が確認されています。

ラングレーの問題は、一見単純ながら奥深く、多様な解法や関連概念を持つ、数学の面白さを伝える典型的な問題と言えるでしょう。

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