ランダム効果モデル

ランダム効果モデル（Random Effects Model）

ランダム効果モデルは、統計学において、モデル内で推定される一部のパラメータが固定された値ではなく、特定の分布に従う確率変数であると仮定する統計モデルの一種です。「変量効果モデル」や「分散成分モデル」と呼ばれることもあります。このモデルは、分析対象となるデータが、学校と生徒、企業と従業員、地域と個人といったように、複数の異なる階層やグループから得られている場合に特に有用です。データの変動が、これらの階層に関連する未観測の要因によって生じていると考える場合に採用されます。

計量経済学では、複数の時点にわたって同じ観察単位を追跡するパネルデータ分析において、個々の単位（例えば個人や企業）に固有の、時間を通じて一定であるものの直接観測できない特性（個人効果）を扱うために利用されます。ランダム効果モデルは、より広範な統計モデルであるマルチレベルモデル（階層線形モデル）の一種であり、また、固定効果とランダム効果の両方を含む混合モデルの特殊なケースとみなすことも可能です。

固定効果との対比

統計モデルにおける「固定効果」と「ランダム効果」は、それぞれ異なるタイプの変動を捉えようとします。固定効果は、通常、分析対象の全体的な平均や、特定のカテゴリの効果といった、普遍的または確定的な影響を表します。これに対し、ランダム効果は、調査対象となっている個々のグループや単位（例えば、学校、個人）に固有の、確率的なばらつきや変動を表現します。ランダム効果は、分析者が特定のグループ自体に関心があるのではなく、それらのグループが抽出されたより大きな母集団の特性に関心がある場合に特に適切です。個々のランダム効果の値は、一般的には未知の潜在変数として扱われます。

モデルの仮定と利点

ランダム効果モデルは、データに含まれる観測されない異質性（未観測の、時間を通じて一定である要因）を分析に組み込むことを可能にします。このモデルが効果的に機能するための主要な仮定は、この観測されない異質性が、分析に用いる他の説明変数（独立変数）と統計的に相関しないという点です。この仮定が満たされる場合、ランダム効果モデルから得られる推定値は、固定効果モデルと比較してより効率的である、つまり推定量のばらつきが小さいという利点があります。

一方、固定効果モデルは、観測されない異質性が説明変数と相関している場合でも適用可能です。観測されない異質性と説明変数の間に相関がある状況では、ランダム効果モデルの仮定が破られ、推定値に偏り（バイアス）が生じる可能性があります。ランダム効果モデルと固定効果モデルのどちらを選択するかは重要な問題であり、データの性質や分析の目的に依存します。統計的な検定、例えばDurbin–Wu–Hausman検定は、ランダム効果モデルの仮定がデータと整合的であるかを評価し、モデル選択の一助となります。検定の結果、仮定が棄却される場合は、固定効果モデルを選択する方が適切とされることがあります。

分散成分の分解

ランダム効果モデルは、「分散成分モデル」とも呼ばれるように、観測されたデータの全体的な分散を、異なるレベルや階層に起因する複数の成分に分解する考え方に基づいています。例えば、学校と生徒のテストスコアの例（後述）では、生徒のスコアのばらつきは、学校間の平均スコアのばらつきと、同じ学校内の生徒間のスコアのばらつきに分解できます。前者が学校レベルのランダム効果による分散成分、後者が生徒レベルのランダム効果（または残差）による分散成分に対応します。これらの分散成分をデータから推定することで、各階層が全体のばらつきにどの程度寄与しているかを理解することができます。学校レベルのランダム効果の分散は、しばしば「クラス内相関係数」と関連付けられます。

具体的な適用例

ランダム効果モデルは、様々な分野で応用されています。例えば、保険分野における保険契約者のリスク評価モデル（ビュールマンモデルなど）や、限られたデータしかない小さな地域（小地域）の統計量を推定する小地域推定（Fay-Herriotモデルなど）に利用されています。

統計分析において、階層構造を持つデータや、未観測の固有要因が結果に影響を与えると想定される状況では、ランダム効果モデルは有効な分析ツールとなります。ただし、その適用にあたっては、モデルの基本的な仮定がデータや研究デザインと整合しているかを慎重に検討することが不可欠です。

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