混合モデル

混合モデルについて

混合モデル（こんごうモデル、英: mixed model）とは、二つの異なる効果—固定効果（fixed effect）と変量効果（random effect）—を同時に扱う統計学的手法です。このアプローチは、特に医学や生物学、社会科学などの幅広い分野で利用され、特に縦断的データや反復測定デザインを伴う研究においてその真価を発揮します。混合モデルは、欠測データの処理に優れており、従来の分析手法と比較して多くの場合、より望ましい結果を提供します。

歴史と発展

混合モデルの起源は1918年に遡ります。その年、統計学者ロナルド・フィッシャーが関連する特性を分析するための変量効果モデルを導入しました。1950年代には、チャールズ・ヘンダーソンが最良線形不偏推定量（BLUE）および最良線形不偏予測量（BLUP）を固定効果と変量効果それぞれに適用したことが、混合モデルのさらなる発展に寄与しました。このモデルは、最尤推定法やベイズ推定に基づく計算手法として広く使用できることから、現在では臨床試験や動物実験、工業統計など、さまざまな応用が見られます。

定義と構成

混合モデルは、次のような行列式で表されます:

$$
\mathbf{y} = X\beta + Z u + \epsilon
$$

ここで、\mathbf{y}は既知の測定値のベクトルであり、その期待値は\(E(\mathbf{y}) = X\beta\)と表されます。\betaは固定効果の未知のベクトルで、uは変量効果の未知ベクトルであり、期待値はゼロです。\epsilonは測定誤差のベクトルで、こちらも期待値はゼロです。\(X\)および\(Z\)はそれぞれデザイン行列であり、測定値に関する情報を含んでいます。

推定手法

混合モデルにおける\mathbf{y}とuの結合密度関数は次のように表されます:

$$
f(\mathbf{y}, \mathbf{u}) = f(\mathbf{y}|\mathbf{u})f(\mathbf{u})
$$

ここで、\(u\)と\(\epsilon\)はそれぞれ正規分布に従うと仮定され、これに基づいて最尤法を利用してモデルを推定します。その結果得られるのがヘンダーソンの“mixed model equations (MME)”です。この方程式は、\(\beta\)とuの最良線形不偏推定量（BLUE）および最良線形不偏予測量（BLUP）を提供します。ここで重要なのは、条件付き分散が単位行列のスカラー倍を超える場合が多く、分散と重みを同時に推定しなければならない点です。

混合モデルの推定には、EMアルゴリズムが用いられることがあります。この手法を用いることで、未観測のパラメータを扱うことができ、現在ではR言語やSASなどの統計ソフトウェアで広く実施されています。

まとめ

混合モデルは、固定効果と変量効果を組み合わせることで、複雑なデータ構造を効果的に分析することができる強力なツールです。さまざまな分野での応用があり、今後もその重要性は増すと考えられます。

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