ラーモアの公式

ラーモア公式：加速する電荷のエネルギー放射

ラーモア公式は、非相対論的な点電荷が加速運動をする際に、単位時間あたりに放出されるエネルギーを計算するための公式です。古典電磁気学において重要な役割を果たしますが、古典的な核磁気共鳴におけるラーモア歳差運動とは異なります。1897年、ジョゼフ・ラーモアによって光の波動論に関する研究の中で導出されました。

公式の概要

荷電粒子（電子、陽子、イオンなど）は加速運動すると、電磁波の形でエネルギーを放出します。その放出されるエネルギーは、粒子の加速度が大きいほど大きくなります。光速に比べて粒子の速度が十分に小さい場合、単位時間あたりのエネルギー放射Pは、以下のラーモア公式で表されます。

SI単位系:

$P = \frac{2}{3} \frac{q^2 a^2}{4\pi\epsilon_0 c^3} = \frac{q^2 a^2}{6\pi\epsilon_0 c^3}$

CGS単位系:

$P = \frac{2}{3} \frac{q^2 a^2}{c^3}$

ここで、

q：電荷
a：固有加速度
c：光速
ε₀：真空の誘電率

これらの式からわかるように、放射されるエネルギーは電荷の二乗と加速度の二乗に比例し、光速の三乗に反比例します。光速が非常に大きいため、低速の粒子では放射されるエネルギーは小さくなります。

相対論的な速度の場合には、リエナール・ヴィーヘルト・ポテンシャルを用いてより複雑な公式が導出されます。

ラーモア公式の導出

ラーモア公式の導出方法はいくつか存在します。ここでは、代表的な2つのアプローチについて簡単に説明します。

導出方法1：数学的アプローチ

この方法は、まず電場と磁場の式を求めることから始まります。リエナール・ヴィーヘルト・ポテンシャルを用いて、電場と磁場の式を導出し、ポインティング・ベクトルを用いてエネルギー流束密度を計算することで、最終的にラーモア公式が得られます。この導出過程は複雑なベクトル計算を伴います。速度項と加速度項から構成される電磁場において、加速度項が遠方での放射場を支配し、エネルギー放射の大部分を担うことが示されます。

導出方法2：パーセルのアプローチ

パーセルのアプローチは、光速度の有限性を出発点とします。等速運動する電荷は、電場を放射しますが、速度が変化すると将来の位置が変化し、電場の垂直成分が生じます。この垂直成分が遠方まで伝播し、エネルギー放射に寄与することが示されます。このアプローチでは、光速度の有限性と電場の連続性という物理的な概念を用いて、より直感的な理解が得られます。

相対論的一般化

ラーモア公式は非相対論的な公式ですが、相対論的な効果を考慮した一般化も存在します。相対論的な場合、4元運動量と4元加速度を用いた共変的な記述が用いられ、ローレンツ不変性を維持した形で公式が拡張されます。相対論的な一般化では、ローレンツ因子γが式に現れ、粒子の速度が光速に近づくにつれて放射エネルギーが大きく増加することがわかります。

角度分布

ラーモア公式から、放射エネルギーの角度分布も導出できます。角度分布は、粒子の速度が相対論的かどうかによって異なります。非相対論的な場合、放射エネルギーは粒子の運動方向に対して垂直方向に最大となり、平行方向ではゼロとなります。相対論的な場合、放射エネルギーは運動方向の前方に集中するようになります。

ラーモア公式の応用と限界

ラーモア公式は、古典電磁気学における重要な公式であり、原子物理学、プラズマ物理学、加速器物理学など、様々な分野で応用されています。しかし、ラーモア公式は非相対論的な近似に基づいているため、粒子の速度が光速に近づく場合には適用できません。また、量子力学的効果が無視できないようなミクロなスケールにおいても、ラーモア公式は正確な記述を与えません。

特に原子物理学においては、古典的な電子軌道モデルに基づくと、電子はエネルギーを放射し続け、原子核に落ち込むという矛盾が生じます。これは、量子力学の導入によって解決されました。

ラーモア公式は古典電磁気学における重要な成果ですが、その適用範囲には限界があることを理解しておくことが重要です。

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