リウヴィル場理論

リウヴィル場理論について

リウヴィル場理論、または単にリウヴィル理論は、物理学において2次元場の量子論を扱う重要な概念です。この理論は、ジョゼフ・リウヴィルによって提唱された幾何と関連付けられた非線形の 2 階微分方程式に基づいています。リウヴィル場理論の根幹をなすのは、特定の局所的な作用であり、次式で定義されます：

$$
S={rac {1}{4 ext{π}}} ext{∫}d^{2}x ext{√g}(g^{ ext{μν}}∂_{ ext{μ}}φ∂_{ ext{ν}}φ +(b+b^{-1})Rφ +4 ext{π}e^{2bφ})
$$

この作用において、$g_{ ext{μν}}$は2次元空間の計量で、$R$はその面のリッチスカラーです。また、$b$は実数の結合定数で、$ ext{φ}$はリウヴィル場を表しています。この作用に基づく運動方程式は次のように表されます：

$$
Δφ(x)={rac {1}{2}}(b+b^{-1})R(x)+4 ext{π}be^{2bφ(x)}
$$

ここで、$Δ$はダランベール演算子であり、特定の空間条件下での古典的なリウヴィル方程式とされます。ユークリッド計量の下で、この方程式は次の形で書き換えられます：

$$
igg( {rac { ext{∂}^{2}}{ ext{∂}x^{2}}} +{rac { ext{∂}^{2}}{ ext{∂}y^{2}}} igg)φ(x, y) = 4 ext{π}be^{2bφ(x, y)}
$$

この理論は、共形場理論において特有の役割を果たし、ワイル対称性を特別な形で表現しています。理論に現れる中心電荷$c$は、次の式を用いて記述されます：

$$
c = 1 + 6(b + rac{1}{b})^{2}
$$

リウヴィル理論は、経路積分の観点から非臨界バージョンが定式化され、弦理論においても重要な役割を果たします。特に、弦理論の文脈では、リウヴィル理論は2次元空間における弦の励起を記述するものと考えられるのです。

さらに、この理論は非有理的共形場理論の中でも理解が進んでおり、観測可能な量の計算が明確に行えることが多いです。例えば、球面のトポロジーにおけるプライマリ作用素の二点相関関数や三点相関関数に関して、理論的な予測が得られています。また、トーラスやディスク上での分配関数も算出されています。

さらに、リウヴィル場理論は、2次元量子重力や弦理論、負曲率の空間での一般相対論など、様々な物理・数学的な問題とも深い関係があります。例えば、リーマン面や共形写像の問題、さらにはアフィン対称性を持つ非有理的共形場理論などもこの理論と結びついています。また、リウヴィル理論はWZWモデルや戸田場理論といった他の理論とも関連し、超対称性を持つ拡張が可能です。

このように、リウヴィル場理論は物理学や数学の多くの領域において重要な役割を果たしており、その理解は今後の研究においても発展していくと期待されています。

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