リーマン面

リーマン面

数学、特に複素解析の分野において、「リーマン面」（Riemann surface）は、連結な複素一次元の複素多様体を指す概念です。19世紀のドイツの数学者ベルンハルト・リーマンによって導入され、その名が冠されています。

リーマン面は、直感的には、複素平面を伸縮したり貼り合わせたりして変形させたような曲面として捉えられます。この曲面は、非常に小さな領域（局所的）で見ると複素平面の一部と区別がつきませんが、全体として（大域的）見ると、例えば球面やトーラスのような、複素平面とは異なる様々な位相的な形をとり得ます。

リーマン面が数学において特に重要視されるのは、正則関数という滑らかな複素関数を、その定義域として自然に扱える舞台を提供するからです。現代では、特に平方根や自然対数のような、一つの入力に対して複数の値を持ちうる「多価関数」の性質を、全体として統一的に研究するための基盤として考えられています。リーマン面を用いることで、これらの多価関数を、幾何学的な曲面上の「一価」の正則関数として捉えることが可能になり、その複雑な構造を解明する助けとなります。

リーマン面は、幾何学的には向きづけ可能な実二次元の多様体、すなわち曲面です。しかし、単なる曲面ではなく、正則関数を一意的に定義することを可能にするための特別な構造、いわゆる「複素構造」を備えています。任意の向きづけ可能な実二次元多様体は、リーマン面にすることができますが、複素構造の入れ方は複数存在する場合もあります。例えば、球面やトーラスはリーマン面としての構造を持ち得ますが、メビウスの帯やクラインの壺のように向きづけ不可能な曲面はリーマン面にはなれません。

リーマン面が持つ解析的・幾何学的に優れた性質は、他の数学的対象、例えば代数曲線や高次元多様体を研究する際のアイデアや直感を豊富に提供します。有名な「リーマン・ロッホの定理」は、リーマン面の性質が他の分野に与える影響の古典的な例です。

リーマン面をより厳密に定義するためには、位相空間の言葉を使います。まず、連結なハウスドルフ空間Xを考えます。Xの開部分集合Uと、Uから複素平面Cの開部分集合への同相写像φの組 (U, φ) を「座標近傍」と呼びます。これは、Xが局所的にCに似ていることを表します。二つの座標近傍 (U, φ) と (V, ψ) が共通部分 U ∩ V を持つとき、一方の座標系から他方へ移る写像 φ⁻¹ と ψ o φ⁻¹ を考えます。これらの「座標変換」が、定義域 U ∩ V 上で正則（複素微分可能）であるとき、二つの座標近傍は「両立的」であると言います。リーマン面 (X, A) とは、空間Xに、互いに両立的な座標近傍の集まりA（「座標近傍系」）が与えられたものです。Aは、Xの全ての点を含むように選ばれます。通常、この座標近傍系は、他のどの座標近傍系にも包含されないという意味で極大であると仮定されます。

最も単純なリーマン面の例は、複素平面C自身です。恒等写像f(z)=zを座標近傍とする構造が最も標準的です。また、Cの任意の開集合も自然にリーマン面となります。もう一つの重要な例が「リーマン球面」Sです。これは複素平面Cに無限遠点∞を付け加えて得られる空間で、球面と位相的に等価です。リーマン球面は、複素平面とは異なり、全体がコンパクトであるという特徴を持ちます。コンパクトなリーマン面の理論は、複素数体上の非特異射影的代数曲線の理論と数学的に等価であることが知られており、これは代数幾何学におけるリーマン面の深い位置づけを示しています。解析接続によって得られるものは、非コンパクトなリーマン面の典型的な例です。

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