リスク中立確率

リスク中立確率について

リスク中立確率（英: risk-neutral probability）とは、金融経済学や数理ファイナンスにおける重要な概念であり、金融資産の理論的な価格を算出するために使用される仮想の確率のことを指します。この確率は、資産価格が局所的にマルチンゲールであるという条件の下で定義され、その特性から「リスク中立測度」とも呼ばれることがあります。

定義と特性

リスク中立確率は、確率空間 \\((\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})\\) に対して、2つの重要な条件を満たす確率測度 \\({\widetilde {\mathbb{P}}}\\) として定義されます。これらの条件は以下の通りです：

1. 確率測度 \\(\mathbb{P}\\) と \\({\widetilde {\mathbb{P}}}\\) は同値で、互いに絶対連続である。
2. 任意の金融資産の価格とそのインカム・ゲインの合計を、安全資産の利子率で割り引いたものが、リスク中立確率測度の下で局所マルチンゲールである。

この概念は、特に離散時間モデルや連続時間モデルにおける資産評価において、核心的な役割を果たしています。

離散時間モデルの例

離散時間モデルにおける具体的な表現を見てみましょう。任意の金融資産 \\(i\\) の価格は次のように表されます：

\\[ p_{i,t} = {\widetilde {E}}_{t}\left[\frac{p_{i,t+1} + d_{i,t+1}}{1 + r_{f, t+1}}\right] \\]

ここで、\(d_{i,t+1}\\) は金融資産のインカム・ゲイン、\(r_{f, t+1}\\) は安全資産の利子率に相当します。この数式は、リスク中立確率の下での期待値の計算を示しており、いかにして将来のキャッシュフローの現在価値を評価するかを示しています。

連続時間モデル

連続時間モデルにおいては、資産価格はさらに複雑な構造を持っています。たとえば、インカム・ゲインの確率過程が区分的連続である場合、次のような方程式が適用されます：

\\[ p_{i,t} = {\widetilde {E}}_{t}\left[\int_{0}^{s} \exp\left\{-\int_{0}^{u} r_{f, t + v} dv\right\} d_{i,t + u} du + \exp\left\{-\int_{0}^{s} r_{f, t + u} du\right\} p_{i,t + s}\right] \\]

この式も、リスク中立確率が如何にして将来のキャッシュフローを現在の資産価格に結びつけるのかを示しています。

確率的割引ファクターとの関係

リスク中立確率は、確率的割引ファクターの別表現とも言えます。離散時間モデルにおいて、資産価格はリスク中立確率測度と連関し、 \\(m_{t+1}\\) を確率的割引ファクターとして見ることができます。具体的には：

\\[ p_{i,t} = E_{t}\left[m_{t+1}(p_{i,t+1} + d_{i,t+1})\right] \\]

ここで、\(m_{t+1}\\) は \(\frac{1}{1+r_{f,t+1}}\) によって定義され、これが期待リターンに対する割引要素として機能します。

アセットプライシングの基本定理

リスク中立確率は、アセットプライシングの基本定理との関連性も持っています。この定理は、金融市場における裁定機会が存在しないための必要条件を示しており、次のようにまとめることができます：

1. 第1基本定理：金融市場に裁定取引が存在しないためには、少なくとも1つのリスク中立確率が存在することが必要です。
2. 第2基本定理：金融市場に裁定取引が存在しない場合、リスク中立確率が一意であることが完備性の必要条件です。

結論

リスク中立確率は、理論的な資産価格評価に欠かせない概念であり、その理解は数理ファイナンスや金融工学において基礎的な部分をなしています。この確率を用いることで、リスクを考慮せずに資産の正確な価値を評価することが可能になります。金融市場における取引を行う際には、この概念を活用して、より適切な意思決定を行うことができます。

もう一度検索