代数的数

代数的数についての解説

代数的数（だいすうてきすう）とは、有理数係数を持つ一変数の多項式の根として定義される複素数のことです。具体的には、$
f(x) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ext{...} + a_0$
の形の多項式に対して、$f(α) = 0$ を満たす複素数 $
α$があるとき、$
α$は代数的数と呼ばれます。これにより、全ての有理数やその平方根、さらには虚数単位 $
i$ も代数的数に分類されます。

代数的数の例と非例

全ての有理数は代数的数です。その理由として、任意の有理数 $
r$ の場合、対応する多項式は $f(x) = x - r$ となり、この多項式は $
r$ を根にもっています。また、実数の中で $
rac{1}{2}$ や $
rac{3}{4}$ のような数も代数的数です。一方で、円周率 $
π$ や自然対数の底 $
e$ などは、それぞれ超越数と呼ばれ代数的数には含まれません。これらの数は代数的数として扱うことができず、代数的方程式によって表現できないことが知られています。

代数的整数と既約多項式

代数的数の中で、整数係数の多項式を持ち、最高次の係数が1であるもの（モニック多項式）を根とする数は代数的整数と定義されます。例えば、整数 $
5$ や虚数単位 $
i$ は代数的整数として知られています。さらに、代数的数の判別式やノルム、トレースといった特性も考えられ、これらは数の特性を知る上で重要な要素です。また、既約多項式とは、代数的数を根とする最も簡単な多項式のことを指します。

数の性質と関係性

代数的数には、加減乗除を通じて新たな代数的数が生成される特性があります。それに対して複素数の中には代数的数でない超越数も存在します。特に、ほとんどの複素数は超越数とされています。カントールによると、代数的数の集合は可算であり、代数的数ではない数の集合は非可算であるとされています。

数論的性質

代数的数は、その無理数度と呼ばれる特性を持ち、無理数の性質を評価する上で重要です。特に、無理数度は有理数での近似度を表し、数の性質解析に役立ちます。フルヴィッツの定理では無理数度の解析方法が示されています。これにより、無理数度が高いものがどのように超越数であるかが示唆されています。

結論

代数的数は有理数係数の多項式の根であることから、多くの重要な性質を持ち、数論や代数などの分野での研究において重要な役割を果たしています。このように、代数的数と超越数の違い、及びそれらの特性を理解することは、数学の深い理解に繋がります。

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