リース空間

リース空間

リース空間は、数学における順序線型空間の一種であり、その順序構造が特別な性質である「束（格子）」をなすものを指します。順序線型空間とは、ベクトル空間としての構造（加法やスカラー倍）と、要素間の順序関係（大小比較）が互いに整合性を持つ空間のことです。さらにリース空間では、任意の二つの要素について、常にそれらの最小上界（結び、join）と最大下界（交わり、meet）が存在するという束の性質が加わります。別名として、線型束空間やベクトル束とも呼ばれます。

この概念は、ハンガリーの数学者リース・フリジェシュが1928年の論文で発表した研究に由来しており、彼の名が冠されています。

リース空間の概念は、現代数学、特に測度論や関数解析の分野において非常に重要です。例えば、測度論における fundamental な定理であるラドン-ニコディムの定理が、リース空間におけるより一般的なスペクトル定理の特別なケースとして定式化できるなど、測度論の主要な結果の多くをリース空間の枠組みで統一的に扱うことが可能になります。

定義

実数体 $\mathbb{R}$ 上のベクトル空間 $X$ に半順序関係 $\le$ が定義されているとき、組 $(X, +, \cdot, \le)$ がリース空間であるとは、以下の条件を満たす場合を言います。

1. 順序と加法の整合性：任意の $f, g, h \in X$ について、$f \le g$ ならば $f + h \le g + h$ が成り立つ。
2. 順序と非負スカラー倍の整合性：任意の実数 $a \ge 0$ と任意の $f, g \in X$ について、$f \le g$ ならば $af \le ag$ が成り立つ。
3. 束の性質：順序集合 $(X, \le)$ は束をなす。すなわち、任意の $f, g \in X$ に対して、最小上界 $f \lor g$ と最大下界 $f \land g$ が $X$ 内に存在する。

最初の二つの条件は、$(X, +, \cdot, \le)$ が順序線型空間であることを意味します。束の性質により定義される二項演算 $\lor$ と $\land$ は、それぞれ結び（join）と交わり（meet）と呼ばれます。

リース空間においては、要素 $f$ が「正」または「非負」であるとは $0 \le f$ となることを指し、非負の要素全体の集合 $X_+ = \{f \in X \mid 0 \le f\}$ を正錐と呼びます。また、任意の要素 $f$ に対して、$|f| := f \lor (-f)$ を $f$ の絶対値、$f_+ := 0 \lor f$ を $f$ の正の部分、$f_- := 0 \lor (-f)$ を $f$ の負の部分と定義します。これらの部分は常に非負であり、$f = f_+ - f_-$ および $|f| = f_+ + f_-$ という関係が成り立ちます。

性質

リース空間における線型構造と束構造の間には、密接な関係があります。特に、加法は束演算に対して分配的であり、非負スカラー倍は束演算と交換可能です。例えば、任意の $f, g, h \in X$ および $a \ge 0$ に対して、以下のような性質が成り立ちます。

$(f+h) \lor (g+h) = (f \lor g) + h$
$(af) \lor (ag) = a(f \lor g)$
$(-f) \lor (-g) = -(f \land g)$

また、リース空間は束としても特別な性質を持ち、分配束となります。すなわち、任意の $f, g, h \in X$ に対して、以下の分配法則が成り立ちます。

$(f \lor g) \land h = (f \land h) \lor (g \land h)$
$(f \land g) \lor h = (f \lor h) \land (g \lor h)$

例と反例

多くの重要な空間がリース空間の例となります。

実数全体の集合 $\mathbb{R}$ （通常の大小関係）
実数の $n$-組全体の集合 $\mathbb{R}^n$ （成分ごとの大小関係）
実数列全体の集合 $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ （成分ごとの大小関係）
0 に収束する実数列全体の集合 $c_0$ （成分ごとの大小関係）
$p$-乗総和可能な実数列の集合 $l^p \ (1 \le p < \infty)$ （成分ごとの大小関係）
有界実数列全体の集合 $l^\infty$ （成分ごとの大小関係）
集合 $X$ 上のコンパクト台つき実数値連続関数の集合 $C_c(X; \mathbb{R})$ （点ごとの大小関係）
区間 $[a, b]$ 上の実数値連続関数の集合 $C[a, b]$ （点ごとの大小関係）

一方、順序線型空間であってもリース空間にならない例も存在します。

区間 $[a, b]$ 上の連続的微分可能な実数値関数の集合 $C^1[a, b]$ は、点ごとの大小関係に関して順序線型空間ではありますが、任意の二関数の点ごとの上限・下限が常に連続的微分可能関数になるとは限らないため、リース空間にはなりません。

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