ベクトル束

ベクトル束 (Vector Bundle)

数学におけるベクトル束は、ある空間X（底空間）の各点xにベクトル空間（ファイバー）を対応させ、それらを連続的かつ整合的に「束ねた」幾何学的対象です。全体の空間E（全空間）は、底空間Xからファイバー空間V（例えばRᵏ）への写像π（束射影）を持ち、Xと同種の空間構造を保ちます。

局所自明性と階数

ベクトル束の最も重要な性質は「局所自明性」です。これは、底空間Xの任意の点xの開近傍U上で、ベクトル束がUとある固定されたベクトル空間Rᵏの直積空間U×Rᵏと同相になるという性質です。この同相写像を局所自明化と呼びます。局所自明化は、局所的にはベクトル束が直積空間のように見えることを保証し、ファイバー構造を保ちます。

各点xにおけるファイバーπ⁻¹(x)は有限次元の実ベクトル空間であり、その次元kₓを持ちます。局所自明性により、kₓは底空間Xの連結成分上で一定の値kをとります。このkをベクトル束の階数と呼びます。階数kのベクトル束は、局所的にはRᵏをファイバーとして持ちます。階数1のベクトル束は特に直線束と呼ばれます。

空間X上のベクトル空間Vの複写をそのまま貼り合わせた直積空間X×Vは、X上の自明束と呼ばれる最も単純なベクトル束です。これは常に局所自明であり、全体としても自明化可能です。しかし、ベクトル束は必ずしも自明ではありません。例えば、可微分多様体の各点における接空間を集めてできる接束は、一般には自明束ではありません（有名な「毛玉の定理」は、球面上の接束が自明でないことを示しています）。多様体の接束が自明であるとき、その多様体は平行化可能と呼ばれます。

座標変換（遷移写像）

異なる局所自明化φ_U: U×Rᵏ → π⁻¹(U)とφ_V: V×Rᵏ → π⁻¹(V)が与えられたとき、共通部分U∩V上で定義される合成写像φ_V⁻¹∘φ_Uは、(x, v)を(x, g_UV(x)v)という形に写します。ここでg_UVはU∩Vから一般線形群GL(k)への連続写像であり、これを遷移写像または座標変換と呼びます。遷移写像は、局所的な「座標系」の切り替えに伴うファイバー内のベクトル表現の変化（線形変換）を記述しています。これらの遷移写像は、異なる近傍間の貼り合わせにおいて整合性条件（チェック・コサイクル条件）を満たします。この構造は、ベクトル束がファイバーRᵏと構造群GL(k)を持つファイバー束の一種であることを示しています。

射と切断

ベクトル束E₁→X₁からE₂→X₂への射（ベクトル束準同型）は、全空間間の連続写像f: E₁→E₂と底空間間の連続写像g: X₁→X₂のペア(f, g)で、図式を可換にし（π₂∘f = g∘π₁）、かつ各点x∈X₁に対しファイバーπ₁⁻¹(x)からπ₂⁻¹(g(x))への制限がベクトル空間の線形写像となるものです。底空間が共通するXの場合、射はX上のベクトル束間の準同型写像となります。射のうち逆写像も射となるものを同型写像と呼び、ベクトル束はこの同型類で分類されます。自明束との同型写像を持つ束を自明化可能（自明）と呼びます。

ベクトル束π: E→Xに対し、Xの開集合U上での切断（断面）とは、UからEへの連続写像sで、π∘s=id_Uを満たすものです。これはUの各点xに対し、ファイバーπ⁻¹(x)のベクトルを連続的に割り当てる関数と考えることができます。例えば、可微分多様体の接束の切断はベクトル場に相当します。U上の切断全体の集合F(U)はベクトル空間となり、さらに底空間X上の連続関数環OX上の加群の層を形成します。X上の実ベクトル束の圏は、局所自由かつ有限生成なOX加群の層の圏と同値であり、ベクトル束論は層の理論の枠組みで捉えることも可能です。

ベクトル束の演算

ベクトル空間に対して行われる多くの代数的な操作は、ベクトル束に対してもファイバーごとに行うことで定義できます。例えば：

• - 双対束E：各ファイバーを双対空間に置き換えた束。
• - 直和束（ホイットニー和）E⊕F：各ファイバーが元の束のファイバーの直和である束。
• - テンソル積束E⊗F：各ファイバーが元の束のファイバーのテンソル積である束。
• - Hom束Hom(E, F)：各ファイバーが元の束のファイバー間の線形写像空間である束。この束の切断はEからFへのベクトル束準同型と同一視できます。

これらの操作は、ベクトル空間の操作が関手的であることから、ベクトル束の圏でも自然に定義されます。
また、別の重要な操作として引き戻し束があります。ベクトル束E→Yと連続写像f: X→Yがあるとき、X上のベクトル束fEを構成できます。f*Eの点xでのファイバーは、Yの対応する点f(x)でのEのファイバーです。

付加構造と一般化

ベクトル束には、計量構造（各ファイバーがユークリッド空間となる）や複素構造（複素ベクトル空間をファイバーとする）などの付加構造が付与されることがあります。これらの構造は、束の構造群GL(k)をその部分群に制限することで得られると理解されることが多いです。ベクトル束の概念は、ファイバーをバナッハ空間に拡張したバナッハ束や、より一般的な構造をファイバーとするファイバー束へと一般化されます。

可微分ベクトル束

底空間と全空間が滑らかな多様体であり、束射影が滑らかで、局所自明化が微分同相であるようなベクトル束を可微分ベクトル束と呼びます。可微分多様体の接束は代表的な例です。可微分ベクトル束の全空間Eの接束TEには、垂直接束VEという重要な部分束が含まれています。これはEの各点におけるファイバーの接空間と自然に同一視できます。

K-理論

位相的K-理論は、位相空間上のベクトル束の同型類を用いて定義されるコホモロジー理論の一種です。ベクトル束の直和に関する同値関係を用いて群を構成します。代数幾何学においても、スキーム上のベクトル束や連接層を用いてK-理論が定義されます。

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