ルジャンドルの公式

ルジャンドルの公式

ルジャンドルの公式は、数学の初等整数論において重要な役割を果たす公式であり、ある自然数$n$の階乗$n!$を特定の素数$p$で割り切る最大回数を示します。この公式は、アドリアン＝マリ・ルジャンドルの名にちなんで名付けられています。

公式の説明

この公式では、任意の非負整数$N$と任意の素数$p$に対して、$N$を割り切る最大の$p$-冪の指数を$
u_p(N)$として表現します。そして、自然数$n$に対して以下の式が成り立ちます。
$$
u_{p}(n!) = extstyle ext{sum}_{i=1}^{ ext{∞}}igg
floor rac{n}{p^{i}}igg
floor$$
ここで、$ ext{floor}(x)$は床関数を示します。

この式に従うと、$p^i > n$のときには$igg
floor rac{n}{p^{i}} igg
floor = 0$となるため、実質的には$i$は$igg
floor ext{log}_p n igg
floor$まで考えれば良いということになります。

具体例

例えば、$n = 6$の場合を考えてみましょう。

$$6! = 720 = 2^{4} imes 3^{2} imes 5^{1}$$
それぞれの素因数の指数は、次の通りに計算できます。

• - $

u_{2}(6!) = 4$

• - $

u_{3}(6!) = 2$

• - $

u_{5}(6!) = 1$

これらはルジャンドルの公式を使って計算することができます。具体的には、次のようになります。

$$
u_{2}(6!) = extstyle ext{sum}_{i=1}^{ ext{∞}}igg
floor rac{6}{2^{i}}igg
floor = igg
floor rac{6}{2} igg
floor + igg
floor rac{6}{4} igg
floor = 3 + 1 = 4 $$
同様に他の素数についても計算できます。

証明の流れ

$n!$は自然数の積ですので、$n$以下の各自然数についての素因数$p$の指数の総和を求めることで解が導かれます。まず、$n$以下の$p$の正の倍数の個数は$igg
floor rac{n}{p} igg
floor$です。さらに、$p^2$の倍数に対して$n!$に$p$の素因数がもう1つ加わることになります。このことを繰り返すことで、全ての$p^i$に対する合計が求められ、最終的に$
u_{p}(n!)$はこれらの総和と等しいことが示されます。

他の形式

$p$を底とする$p$-進展開の観点から、ルジャンドルの公式を異なる形で表現することも可能です。$s_{p}(n)$を$n$の$p$進表示における各位の和とすると、
$$
u_{p}(n!) = rac{n - s_{p}(n)}{p - 1}$$
が成り立ちます。

例えば、$n=6$の場合を二進法で表すと、$6_{10} = 110_{2}$となり、
$$s_{2}(6) = 1 + 1 + 0 = 2$$
これを公式に代入すると、
$$
u_{2}(6!) = rac{6 - 2}{2 - 1} = 4$$
と計算できます。

応用

この公式は、数論や組合せ論において非常に有用です。例えば、クンマーの定理の証明に利用され、特に$inom{2n}{n}$が4で割り切れる条件などを示すのに重要です。
また、$p$-進指数関数の収束半径を導く際にも重要です。

ルジャンドルの公式は整数論の根幹を成す、非常に重要なツールです。

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