ルベーグの分解定理

ルベーグの分解定理

ルベーグの分解定理は、測度論における重要な定理であり、測度の性質を理解するための強力なツールです。この定理は、可測空間
(Ω, Σ) 上における二つの σ-有限な符号付測度 μ および ν に関連しています。この定理によれば、 ν を二つの部分
ν₀ と ν₁ に分けることができ、両者は特定の性質を持つことが示されています。

最初の部分 ν₀ は、μ に対して絶対連続である一方、ν₁ はμ に対して特異的です。これは、数理的な文脈で非常に重要な概念です。具体的には、ν は次のように表されます。

$$
u =
u_0 +
u_1$$

ここで、 ν₀ は完全に μ に従う測度であり、ν₁ は μ から特異的に独立している測度です。これにより、二つの測度を一意的に関連付けることができ、測度の特性を深く理解する手助けをします。

定理の改良

ルベーグの分解定理には多くの改良が提案されています。その一例として、実数直線上の正則なボレル測度の分解があります。この場合、ν は次のように三つの部分に分けられます。

$$
u =
u_{cont} +
u_{sing} +
u_{pp}$$

ここで、

• - νₜₒₙₜ は絶対連続な部分、
• - νₛᵢₙg は特異連続な部分、
• - νₚₚ は純点の部分（離散測度）です。

この分解により、測度の特性をより詳細に理解することができます。たとえば、νₜₒₙₜ の部分はラドン＝ニコディムの定理によって分類可能で、νₚₚ は直感的に理解しやすいです。このように、特異連続測度は時として複雑ですが、ルベーグの分解を通じて、しっかりとした構造が示されます。特にカントール測度は特異連続測度の一例です。

関連する概念

ルベーグの分解定理は、確率過程におけるレヴィ＝伊藤分解とも関連しています。任意のレヴィ過程 X は、三つの独立なレヴィ過程に分解できます。

$$X = X^{(1)} + X^{(2)} + X^{(3)}$$

このとき、

• - X^{(1)} はドリフトを含むブラウン運動に相当し、絶対連続な部分を表します。
• - X^{(2)} は純点に対応する複合ポアソン過程
• - X^{(3)} は特異連続な部分に対応する自乗可積分な純ジャンプマルチンゲールです。

このように、ルベーグの分解定理とレヴィ＝伊藤分解には共通の構造があり、測度や確率過程の理解を深める手助けとなっています。

参考文献

• - Halmos, Paul R. (1974) [1950], Measure Theory, Graduate Texts in Mathematics.
• - Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Real and Abstract Analysis.
• - Rudin, Walter (1974), Real and Complex Analysis.

この記事は、オープンな数学辞典『PlanetMath』に基づいており、ルベーグの分解定理に関する詳細な知識を提供しています。

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