ルベーグ外測度

ルベーグ外測度とは

数学におけるルベーグ外測度は、Rnの任意の部分集合に対して、それが占める体積に相当する非負の実数を割り当てる集合関数です。これは、測度論において非常に重要な役割を果たし、特に現代のルベーグ測度の構成において基盤の役割を担っています。

特徴

ルベーグ外測度は以下のような性質を持っています。

1. 単純な区間の測定

基本的な部分集合として、区間を考えます。n次元の区間Iは次のように表されます。

$$
I = [a_1, b_1] imes [a_2, b_2] imes imes imes [a_n, b_n] \, (a_i \\leq b_i)
$$

その体積は、各次元の幅を掛け合わせることで計算され、次のように表されます。

$$
\mu ^{}(I) = (b_1 - a_1)(b_2 - a_2)\dotsb (b_n - a_n)
$$

特に、空集合の外測度はゼロです：

$$
\mu ^{}(\emptyset) = 0
$$

2. 劣加法性

任意の可算な集合の合併について、ルベーグ外測度は劣加法性を持ちます。

$$
\mu ^{}\left(\bigcup _{j=1}^{\infty} E_{j}\right) \leq \sum _{j=1}^{\infty} \mu ^{}(E_{j})
$$

これは、集合の合併全体の測度が、各集合の測度の和を上回らないことを示しています。

3. 単調性

もし集合AがBに部分集合であるならば、その測度は次のように表されます。

$$
A \subseteq B \implies \mu ^{}(A) \leq \mu ^{}(B)
$$

4. 平行移動不変性

集合Aを平行移動した集合$A_{\\lambda}$について、外測度は次のように表されます。

$$
\mu ^{}(A) = \mu ^{}(A_{\lambda})
$$

この特性により、測度は位置に依存せず、平行移動に対して invariance を持ちます。

5. 線型変換の影響

線型変換Tが定義されると、外測度との関係は次のようになります。

$$
\mu ^{}(TA) = |T|\mu ^{}(A)
$$

ここで、$|T|$は変換の行列式です。

定義

ルベーグ外測度は次のように定義されます。全体集合Rnは、可算な区間の合併によって被覆できることが知られています。
このため、任意の部分集合Eもこれにより被覆でき、そのルベーグ外測度は次のように表されます。

$$
\mu ^{*}(E) := \inf \left\{ \sum_{j=1}^{\infty} vol(I_{j}) : \bigcup I_{j} \supseteq E \right\}
$$

この定義により、外測度はRnの部分集合全体に適用されます。外測度は、非負の実数または無限大を取る関数として定義されます。

零集合

Rnの部分集合が「ルベーグ測度零」または「ルベーグ零集合」と呼ばれるのは、そのルベーグ外測度がゼロであるときです。この結果は、外測度ゼロの任意の集合が可測であり、その任意の部分集合が測度ゼロであることに関連しています。

一般に、ルベーグ外測度は、測度論の多くの重要な結果に基づいており、数学の多くの分野での応用が期待されます。

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