ルベーグ被覆次元

ルベーグ被覆次元

ルベーグ被覆次元は、数学、特に位相空間論で用いられる空間の次元を定義する概念の一つです。これは空間が持つ位相構造のみに依存する「位相不変量」であり、幾何学的な形状だけでなく、より抽象的な空間の"広がり"や"複雑さ"を表す指標となります。別名「位相次元」とも呼ばれます。

定義

位相空間 X のルベーグ被覆次元は、以下のように定義されます。

まず、空間 X の「開被覆」とは、X を完全に覆う開集合の集まりのことです。ある開被覆 $\mathcal{A}$ の「細分」$\mathcal{B}$ とは、$\mathcal{B}$ も X の開被覆であり、かつ$\mathcal{B}$ の各開集合が $\mathcal{A}$ のいずれかの開集合に含まれているような開被覆のことです。

ルベーグ被覆次元は、X の任意の有限開被覆 $\mathcal{A}$ に対して、その細分となる有限開被覆 $\mathcal{B}$ で、X のどの点 x をとっても、x を含む $\mathcal{B}$ の開集合の数が n + 1 個以下であるようなものが存在する、という条件を満たす最小の非負整数 n として定められます。

このような性質を持つ非負整数 n が存在しない場合、その空間のルベーグ被覆次元は無限であると定義されます。

例

おなじみの n-次元ユークリッド空間 $E^n$ のルベーグ被覆次元はちょうど n です。
位相空間がルベーグ被覆次元に関して0次元であるのは、その空間の任意の開被覆が、互いに重なりのない（互いに素な）開集合からなる細分を持つ場合に限ります。このとき、空間の各点は、そのような細分を構成する開集合のうち、ただ一つだけに属することになります。
単位円（1次元多様体）の被覆次元は 1 です。円の任意の開被覆が与えられたとき、これを円弧の集まりで細分することができます。さらに細かく分割していくことで、円上のどの点も、「多くても」2つの円弧にしか含まれないような円弧族による細分を作ることができます。定義における n+1 が 2 となるため、n=1 となり、円の次元は 1 となります。どんなに大きな円弧から始めても、適切に分割・選択すれば、各点が二重に覆われるだけで済むようにできることを意味します。
単位円板（2次元多様体）の被覆次元は 2 です。円板の任意の開被覆を細分していくと、円板のどの点も「多くても」3つの開集合にしか含まれないようにできます（2つでは一般に不十分です）。定義における n+1 が 3 となるため、n=2 となり、円板の次元は 2 となります。

性質

ルベーグ被覆次元は位相不変量であるため、互いに同相な位相空間は同じルベーグ被覆次元を持ちます。

いくつかの重要な定理がルベーグ被覆次元に関連して知られています。

ルベーグ被覆定理: 有限単体的複体について、そのアフィン次元（幾何学的な次元）とルベーグ被覆次元は一致します。
正規空間（ある種の分離公理を満たす位相空間）においては、ルベーグ被覆次元は「大きい帰納次元」と呼ばれる別の次元概念と一致するか、あるいはそれより小さくなります。
正規空間 X のルベーグ被覆次元が高々 n であることは、X の任意の閉部分集合 A から n-次元球面 $S^n$ への任意の連続写像が、空間 X 全体から $S^n$ への連続写像に拡張できることと同値です。これは次元を連続写像の拡張可能性によって特徴づける定理です。
オストランドの色つき次元に関する定理: 正規空間 X のルベーグ被覆次元が非負整数 m 以下であるための必要十分条件は、X の任意の局所有限開被覆（各点が有限個の開集合にしか含まれない開被覆）に対して、その開被覆を m + 1 個の開被覆族の和として表すことができ、かつ各開被覆族を構成する開集合が互いに交わらない（互いに素である）ようなX の開被覆が存在することです。これは「色つき次元」と呼ばれる概念と関連付けられる定理です。

歴史

ルベーグによる先行研究を基に、ルベーグ被覆次元の厳密な定義を初めて与えたのは、チェコの数学者エドゥアルド・チェック（Eduard Čech）であるとされています。次元論は、カール・メンガー（Karl Menger）やパヴェル・アレクサンドロフ（Pavel Alexandrov）らによっても深く研究されました。

関連項目

次元 (数学)
次元論 (代数学)
メタコンパクト空間
点有限族

位相空間論におけるルベーグ被覆次元は、空間の構造を理解するための基本的な道具の一つであり、様々な定理や他の次元概念との関連を通じて、数学の広範な分野で重要な役割を果たしています。

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