球面

球面：数学的定義と性質

球面は、三次元ユークリッド空間において、中心となる定点からの距離が一定の点の集合として定義されます。この一定の距離を半径と呼び、中心を通る直線が球面と交わる線分の長さを直径と呼びます。どの方向から見ても半径が一定の円に見える立体図形と表現することもできます。数学以外の文脈では「球」「球面」「球体」が混同されることもありますが、数学的には厳密に区別されます。球面は二次元閉曲面であり、球体は球面とその内部領域（球面を含む場合を閉球体、含まない場合を開球体と呼びます）を表します。

球面の方程式

中心が(x₀, y₀, z₀)、半径がrの球面は、以下の式で表されます。

(x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)² = r²

ax² + ay² + az² + 2bx + 2cy + 2dz + e = 0

ここで、a, b, c, d, eは実数で、a ≠ 0です。この式を変形すると、中心と半径を直接的に表すことができます。a = 0 の場合は平面を表します。

球面上の点を媒介変数表示すると、以下のようになります。

x = x₀ + r sin(φ) cos(θ)
y = y₀ + r sin(φ) sin(θ)
z = z₀ + r cos(φ)

(0 ≤ φ ≤ π, 0 ≤ θ < 2π)

原点を中心とする球面は、微分形式 xdx + ydy + zdz = 0 の積分曲面として表すことも可能です。これは、位置ベクトルと速度ベクトルが常に直交することを示しています。また、球面は円を回転させて得られる回転曲面と捉えることもできます。

球面の体積と表面積

半径rの球体の体積Vは、以下の式で表されます。

V = (4/3)πr³

この公式はアルキメデスによって導き出されました。積分を用いてもこの公式を導出できます。

半径rの球面の表面積Aは、以下の式で表されます。

A = 4πr²

アルキメデスはこの公式を発見し、球の体積の半径に関する微分が表面積に等しいことを利用して導出しました。積分を用いても導出可能です。

球面の幾何学的性質

球面は、同一平面上にない四点によって一意に決定されます。これは平面上の円が三点で一意に決まることに対応します。二つの球面の交線は円となり、その円を含む平面を根面といいます。二つの球面が直角に交わる条件は、中心間の距離の二乗が半径の二乗の和に等しいことです。

球束

二つの球面の方程式 f(x, y, z) = 0 と g(x, y, z) = 0 から、sf(x, y, z) + tg(x, y, z) = 0 という球面束の方程式が得られます。sとtはパラメータです。球面束は、生成球面の交円の性質（実円、虚円、点円）によって分類されます。

球面幾何学

球面幾何学では、点と大円（球面上の測地線）が基本要素となります。ユークリッド幾何学の公理系とは異なるため、成立する定理も異なってきます。例えば、球面三角形の内角の和は180°より大きくなります。

高次元球面

球面の概念は、高次元空間に拡張できます。n次元球面（n-sphere, Sⁿ）は、(n+1)次元ユークリッド空間において中心からの距離が一定の点の集合です。n=0, 1, 2, 3 の場合はそれぞれ、点の対、円周、通常の球面、超球面となります。n次元単位球面の表面積はガンマ関数を使って表現できます。

その他

球面に関する様々な性質、例えばヒルベルトとコーン＝フォッセンによる11の性質など、球面を特徴づける多くの性質が存在します。また、位相幾何学における位相球面、距離空間における距離球面など、球面の概念は様々な数学分野に広がっています。半球面、球面の裏返しなども重要な話題です。

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