レイノルズの輸送定理

レイノルズの輸送定理

レイノルズの輸送定理は、主に連続体力学において、物理量の変化を扱う重要な法則です。特に、変形に伴う物理量の変化を記述するための数学的な枠組みを提供します。この定理は、変形する形状の中で定義された物理量の物質時間導関数を扱います。具体的には、次のように表されます。

$$
\frac{D}{Dt}\int_{\kappa_t} \theta(\mathbf{x}, t) dv = \int_{\kappa_t}\left(\frac{D\theta}{Dt} + \theta \div \mathbf{v}\right) dv
$$

ここで、\( \theta \) は考察する物質量であり、\( \kappa_t \) は時刻\( t \) におけるその物質量の定義域です。物理量 \( \theta \) は、スカラー、ベクトル、またはテンソル値であり、この定理はそのいずれにも適用できます。

物質時間導関数

物質時間導関数とは、物質点に伴う物理量の時間変化を測定する手法の一つです。一般的に、物理量の時間変化を追跡する際、物質点が移動することを考慮に入れます。言い換えれば、物質時間の微分は、単に時間の経過による変化だけでなく、流体の動きによる変化も考慮されます。

定理の導出

レイノルズの輸送定理の導出においては、基準形状と呼ばれる変形のない形状、\( \kappa_0 \) を用いて変形形状\( \kappa_t \) を表現します。物質ポイントの座標は以下のように関連付けられます：

$$
\mathbf{x} = \chi(\mathbf{X}, t)
$$

これにより、変形する形状の中での体積積分も時間的に変わります。したがって、積分範囲が変化すると、それに伴い微分も変わってきます。

体積の変化

基準形状における微小体積 \( dV \) と変形形状における微小体積 \( dv \) 間には体積変化率 \( J \) が関わります。次の関係が成り立ちます：

$$
dv = J dV
$$

このように、物理量の時間変化率をより理解するために、体積変化率を含めることが重要です。従って、基準形状における微積分の結果を変形形状に適用するには、体積の変化も考慮に入れる必要があります。

物理量の変化の例

連続の方程式を考えると、物理量としての密度 \( \rho \) を輸送定理に代入することで、流体の挙動を表現することができます。これは、流体の中の物質の分布や移動を理解するためにも役立ちます。

参考資料

レイノルズの輸送定理に関する詳細は、京谷孝史著『よくわかる連続体力学ノート』に記されています。この文献では、連続体力学における基本的なモデリング手法や理論的背景が含まれています。

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