連続の方程式

連続の方程式

連続の方程式は、物質が何の理由もなく出現したり消失したりしないという自然な原則を示す重要な数学的表現です。この方程式は物理学のさまざまな場面で適用され、質量保存則やエネルギー保存則とも深く関わっています。

狭義の連続の方程式

狭義では、流体力学における質量の保存に関する式を指します。具体的には、非圧縮性流体において適用されることが多いです。流体の流れを考えた場合、その質量が時間とともに変化しないことを示しています。

広義の連続の方程式

広義では、スカラー物理量についての保存則やその一般化による輸送方程式を含みます。特定のスカラー量 q とそのフラックス J、湧き出し量 Sの関係を示す式として、次のように表すことができます：

$$\frac{dM}{dt} + J = S$$

ここで、M は領域内の q の質量、J は境界を通過する流束、S はその領域での湧き出し量を指します。これらの量は、すべてある「密度」量で表現されます。具体的には、密度を ρ、流束を j、湧き出し密度を σ とすると、次の形式になります：

$$M = \int_{Ω} \rho \, dV$$
$$J = \oint_{∂Ω} j \cdot dS$$
$$S = \int_{Ω} σ \, dV$$

ここで、dS は境界上の微小面積のベクトルを示しています。これを基に、連続の方程式は次のように表せます：

$$\frac{d}{dt} \int_{Ω} \rho \, dV + \oint_{∂Ω} j \cdot dS = \int_{Ω} σ \, dV$$

微分形の連続の方程式

上述の式から導出される微分形は、以下のようになります：

$$\frac{∂ρ}{∂t} +
abla \cdot j = σ$$

特に湧き出しがない場合、すなわち σ = 0 であれば、次のようになります：

$$\frac{∂ρ}{∂t} +
abla \cdot j = 0$$

この式は質量保存の法則を示すもので、流体の動きを理解するための基本的な関係式となります。

流体における連続の方程式

質量の流れを考える際、流れの速度を v とし、質量密度を ρ、流束を j として表します。流れにおけるこの関係から、流束 j は次のように定義されます：

$$j = ρv$$

この関係を利用して、流体の連続の方程式を再構築すると、次の式が得られます：

$$\frac{∂ρ}{∂t} +
abla \, \cdot (ρv) = 0$$

この畳み込み的な式は、流体の運動における質量の保存を示しています。

非圧縮性流体の連続の方程式

非圧縮性流体は、その密度が常に一定である性質を持ちます。これを考慮に入れると、連続の方程式は次のように単純化されます：

$$
abla \cdot v = 0$$

ここで得られた式は、流体要素の体積が常に保存されることを示し、流体力学の基盤を築く重要な要素となります。

電磁気学における連続の方程式

電気系においても連続の方程式は重要な役割を持ちます。電荷の密度を ρ、電流密度を j としたとき、連続の式は次のように表されます：

$$\frac{∂ρ}{∂t} +
abla \cdot j = 0$$

このように、電磁気学においても物質の保存が示され、連続の式はさまざまな物理現象を理解する鍵となるのです。これらの原則は、物理学全般にわたって多くの応用があり、流体力学、電磁気学、さらには量子力学など、様々な分野で展開されています。

量子力学における連続の式

量子力学では、波動関数に基づき確率の保存則を記述するために連続の式が使われます。波動関数 Ψ(r, t) を用いて、確率密度 ρ と確率流束 j が次のように定義されます：

$$ρ = Ψ^Ψ$$
$$j = \frac{ℏ}{2m i}[Ψ^
abla Ψ - Ψ
abla Ψ^*]$$

シュレディンガー方程式を利用して導かれる連続の式は、確率が保存されることを示しています。このように、連続の方程式は様々な物理的現象の本質を捉えるための基本的な枠組みを提供しています。

もう一度検索