レイノルズ平均ナビエ-ストークス方程式

レイノルズ平均ナビエ-ストークス方程式（RANS）

レイノルズ平均ナビエ-ストークス方程式（RANS）は、流体の運動を時間的に平均化した形で表現した方程式です。この方程式は、オズボーン・レイノルズが提唱したレイノルズ分解に基づいており、流体の瞬時物理量を時間平均値とその変動量に分ける手法を用います。RANS方程式は特に乱流の挙動を記述する際に用いられ、流体力学の中で重要な役割を果たします。

RANS方程式の目的は、ナビエ-ストークス方程式の解を時間平均化することによって、非圧縮性のニュートン流体の振舞いを表現することです。この方程式の中で、流体要素の平均運動量の変化を表す左辺には、平均流量の不安定さや対流による変化が示されています。

非圧縮性流体の場合、RANS方程式の表記は次のようになります。

$$
\rho \overline{u_j} \frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_j} = \rho \overline{f_i} + \frac{\partial}{\partial x_j} \left[-\overline{p} \delta_{ij} + \mu \left(\frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_j} + \frac{\partial \overline{u_j}}{\partial x_i}\right) - \rho \overline{u_i' u_j'}\right]
$$

この方程式における各項は、平均物体力や圧力場に起因する応力とともに、変動する速度場によって生じるレイノルズ応力を考慮しています。特に、レイノルズ応力は非線形であるため、RANS方程式を解く際には追加のモデリングが必要であり、これにより多様な乱流モデルが創出されます。

RANS方程式の導出

RANS方程式を導出するためには、レイノルズ分解が重要です。レイノルズ分解は、流速などの成分を平均値と変動量に分ける手法です。この操作において、変動量の平均値が必ず0になるという特性があります（$\overline{u'} = 0$）。これにより、瞬間的な流速が時間平均の流速とその変動成分の和として表されます。具体的には、流速$u$は以下のように表されます。

$$
u(x,t) = \overline{u}(x) + u'(x,t)$$

ここで、$x$は位置ベクトルを表します。RANS方程式は、流体が非圧縮性である場合に、上記の形で記述されます。

流体の運動を記述するナビエ-ストークス方程式をテンソル表記で示すと、次のようになります。

$$
\frac{\partial u_i}{\partial x_i} = 0 \
\frac{\partial u_i}{\partial t} + u_j \frac{\partial u_i}{\partial x_j} = f_i - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_i} +
u \frac{\partial^2 u_i}{\partial x_j \partial x_j}
$$

この方程式から、瞬時の物理量を平均値と変動量に分けることで、RANS方程式に至ることが可能です。今回のように、RANS方程式が多くの流体力学の問題に応用されることで、その柔軟性と有用性が強調されます。

最後に、RANS方程式の時間平均化について説明します。時間領域での積分を通じて、時間依存性を除去し、特定の流れの平均挙動を得ることができます。これにより、流体力学の諸問題に対する解決策を導き出すことが可能にします。このように、RANS方程式は流体の乱流解析において欠かせない手段となっています。

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