レイリーの定理

レイリーの定理の概要

レイリーの定理は、数学における重要な概念であり、1より大きい無理数を用いて自然数全体を互いに素な二つの集合に分ける方法を提供します。1894年に物理学者レイリー卿によって提唱されたこの定理は、得られた集合の元を並べると「ビーティ数列」と呼ばれ、ビーティの定理とも関連づけられます。

定理の内容

レイリーの定理は、以下の条件を満たす1より大きい実数 r, s に関するものです。

1. r, s は無理数であり、

\[ \frac{1}{r} + \frac{1}{s} = 1 \]

が成り立つ。
2. 床関数を用いた表示の数列として、

\[ B_r = \{ \lfloor nr \rfloor | n \in \mathbb{N} \} \]

および

\[ B_s = \{ \lfloor ns \rfloor | n \in \mathbb{N} \} \]

が定義されます。

この定理によると、これらの系列の項全体は重複がなく、自然数全体をカバーします。特に重要なのは、単に集合の元だけでなく、数列の項にも重複がないことです。また、r と s の関係について、(1 < r < s)ならば (1 < r < 2 < s) という順序にも成り立ちます。この定理の逆も成立するため、非常に強力な性質です。

具体例

例えば、r = √2 の場合、1 より大きい無理数となり、r と s が条件を満たすためには、s = 2 + √2 であることがわかります。このとき、数列 B_r と B_s の項を順に並べると以下のような結果になります。

証明の概要

レイリーの定理の証明は、r, s が無理数であることを前提に始まり、その必要性と十分性について考察します。具体的には、自然数 N に対して、各数列の項がどのようにして自然数全体を重複なくカバーするかを示します。

1. 任意の自然数 n に対して、

\[ \lfloor nr \rfloor \leq N \]

を満たす自然数 n の個数を i とします。さらに、

\[ \lfloor ns \rfloor \leq N \]

を満たす自然数 n の個数を j とします。
2. これらの関係から、i と j の和がどうなるのかを示すために計算を進めると、

\[ i + j < (N + 1) \left( \frac{1}{r} + \frac{1}{s} \right) \leq i + j + 2 \]

という結果が得られます。
3. この結果から、i + j が N に依存していることが見え、最終的に自然数全体を重複なく取ることが示されます。

結論

レイリーの定理は、無理数の性質を利用して自然数を特定の方法で分割する強力な数学的ツールです。この定理は、ビーティ数列や他の数学的な分野においても応用されることが多く、その普遍的な価値は高く評価されています。

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