レイリー・ジーンズの法則

レイリー・ジーンズの法則は、物体が高温になった際に放つ熱輻射の中でも、特に理想的な物体とされる「黒体」から放出される電磁波のエネルギーが、その電磁波の持つ色、すなわち振動数や波長ごとにどのように分布するかを理論的に記述したものです。イギリスの物理学者であるレイリー卿とジェームズ・ジーンズにちなんで名づけられました。この法則は、当時の古典物理学、具体的には熱平衡状態にある電磁場を振動する要素（調和振動子）の集まりとして捉え、古典統計力学のエネルギー等分配則を適用することで導き出されました。

法則の背景

高温の物質が光を放つ現象は古くから知られていました。例えば、熱された鉄が赤く光り、さらに温度を上げると黄色、白と色が変わっていくのは熱輻射の典型的な例です。逆に、物体が電磁波を吸収すると、そのエネルギーは物質の熱運動に変わります。物質の熱輻射の性質について、グスタフ・キルヒホッフは、熱平衡状態にある物質の放射能力と吸収能力の比が、物質の種類によらず、温度と振動数のみに依存する普遍的な関数となることを示しました。これは特に、あらゆる波長の電磁波を完全に吸収する仮想的な物体である「黒体」からの輻射（黒体輻射）の場合に一致します。黒体輻射は、壁の内部で電磁波が何度も反射・吸収・再放出され、輻射場が熱平衡状態に達した「空洞炉」の中で実現できます。この空洞炉内の電磁場のエネルギー密度は、黒体輻射のスペクトル分布と直接関連します。

古典論による理論構築と限界

レイリー・ジーンズの法則は、空洞内の電磁波を無数の微小な振動子（調和振動子）の集まりとみなすことで構築されました。これらの振動子は様々な振動数を持っています。古典統計力学の重要な法則であるエネルギー等分配則によれば、熱平衡状態にある各自由度には、温度 T に比例した平均エネルギー kT （k はボルツマン定数）が分配されます。電磁波の各振動モードを一つの自由度を持つ調和振動子と見なすと、各振動数 ν のモードには平均エネルギー kT が分配されると考えられます。空間の単位体積あたりに存在する振動数 ν から ν+dν の電磁波モードの数は、ν² に比例することが計算されます。このモード数に各モードの平均エネルギー kT をかけることで、振動数 ν 付近のエネルギー密度 u(ν,T) が得られます。

振動数によるエネルギー密度 u(ν,T) は、

$u(
u,T) = \frac{8\pi
u^2 kT}{c^3}$

という形で表されます（c は光速）。また、波長 λ を用いると、

$u(\lambda,T) = \frac{8\pi kT}{\lambda^4}$

となります。

この法則は、波長の長い（振動数の低い）領域では実験結果と非常によく一致しました。しかし、波長が短くなる（振動数が高くなる）につれて、理論値は実験値を大きく上回り、実際とはかけ離れた値を示しました。これは、古典物理学の理論が黒体輻射の全領域を正しく記述できていないことを示していました。

紫外破綻

レイリー・ジーンズの法則の最も深刻な問題は、電磁波の全振動数範囲（あるいは全波長範囲）にわたってエネルギー密度を積分すると、その合計が無限大になってしまうことです。これは、特に紫外域やそれよりさらに振動数の高い領域でエネルギー密度が際限なく増加するという理論予測に起因するため、「紫外破綻（Ultraviolet Catastrophe）」と呼ばれました。この問題は、温度が零度でない限り、真空中に無限のエネルギーが存在することを示唆するという、物理的に受け入れがたい結論を導きました。この破綻は、古典物理学の枠組みでは黒体輻射の問題を完全に解決できないことを端的に示しており、当時の物理学者たちを悩ませました。

歴史的意義とプランクの登場

レイリー卿は1900年にこの法則の原型となる式を発表し、ヴィーンの放射法則（短波長で実験と一致するが長波長で一致しない法則）の限界を指摘しました。その後、ジェームズ・ジーンズが係数の誤りを指摘し、1905年にレイリーとジーンズによって現在の形が導出されました。しかし、前述の通り、この古典的なアプローチは短波長領域で破綻しました。

この古典物理学の危機を救ったのが、マックス・プランクです。プランクは1900年に、空洞炉の壁にある原子振動子が連続的なエネルギーではなく、特定のエネルギーの「量子」（エネルギーの粒）のみをやり取りするという仮説を導入しました。この画期的なアイデアに基づき導出されたプランクの法則は、短波長から長波長に至る黒体輻射の全スペクトル領域で実験結果と完璧に一致しました。

$u(
u,T) = \frac{8\pi h
u^3}{c^3} \frac{1}{e^{h
u/kT}-1}$

ここで h はプランク定数です。興味深いことに、プランクの法則において、振動数 ν が低い（あるいは温度 T が高い）極限（hν << kT となる場合）を取ると、レイリー・ジーンズの法則に帰着します。これは、古典物理学が量子論のある特定の極限として現れることを示唆しており、物理学の大きな転換点となりました。

レイリー・ジーンズの法則は、それ自体は不完全な理論でしたが、古典物理学の限界を明確に露呈し、「紫外破綻」という未解決の問題を提示することで、量子論という新しい物理学の誕生と発展に不可欠な役割を果たしたのです。

レイリー・ジーンズの法則