調和振動子

調和振動子：古典力学と量子力学の視点

調和振動子とは、平衡点からの変位に比例した復元力が働く系で記述される物理現象です。ばねにつながれた質点の振動や、単振り子の小さな振動などが典型的な例として挙げられます。その単純さにもかかわらず、調和振動子は古典力学、量子力学の両方の枠組みで解析的に解くことができ、物理学における重要なモデルとなっています。

古典的な調和振動子

古典力学において、調和振動子はニュートンの運動方程式を用いて記述できます。ばね定数kのばねに質量mの物体が接続されている系を考えましょう。平衡点からの変位をxとすると、物体に働く力は-kxで表されます。ニュートンの運動方程式m(d²x/dt²) = -kxを解くと、解は正弦波の形で表されます。

x(t) = Acos(ωt) + Bsin(ωt)

ここで、ω = √(k/m)は角振動数で、ばね定数と質量によって決まります。AとBは初期条件によって定まる定数です。この式は、質点が平衡点を中心として正弦波状に振動することを示しています。

ハミルトニアンを用いた記述も可能です。調和振動子のポテンシャルエネルギーUはU = (1/2)kx²で表されます。ハミルトニアンHは運動エネルギーTとポテンシャルエネルギーUの和H = T + Uで与えられ、ハミルトンの正準方程式を用いることで運動方程式を導出できます。この方法で得られる解は、ニュートンの運動方程式を用いた場合と同じ結果になります。

量子的な調和振動子

量子力学においては、位置と運動量を演算子として扱うことで調和振動子を記述します。位置演算子xと運動量演算子p̂=-iħ(∂/∂x)を用いて、ハミルトニアン演算子Ĥを構成します。

Ĥ = -ħ²/2m(∂²/∂x²) + (1/2)mω²x²

時間によらないシュレーディンガー方程式Ĥφ(x) = Eφ(x)を解くことで、エネルギー固有値Eとエネルギー固有関数φ(x)を求めることができます。この方程式の解はエルミート多項式を用いて表され、エネルギー固有値は

En = ħω(n + 1/2) (n = 0, 1, 2, ...)

となります。nは量子数で、エネルギー準位は等間隔に並ぶことが分かります。n=0の状態は零点振動と呼ばれ、零点エネルギーħω/2を持ちます。

より高次元の調和振動子についても、同様の方法で解くことができます。3次元調和振動子の場合、エネルギー固有値は

EN = ħω(N + 3/2)

となります。ここでNは量子数の総和で、エネルギー準位は縮退を示します。

生成消滅演算子

調和振動子の取り扱いにおいては、生成消滅演算子を用いる方法が有効です。生成演算子â⁺と消滅演算子âを定義し、これらを用いることでシュレーディンガー方程式を簡潔に表現することができます。

ħω(â⁺â + 1/2)φ = Eφ

â⁺âは数演算子n̂と呼ばれ、その固有値は量子数nに一致します。生成演算子は量子数を一つ増やし、消滅演算子は一つ減らす働きをします。この演算子を用いることで、エネルギー固有状態を効率的に求めることができます。

量子場との関係

場の量子論では、場を調和振動子の集合として記述することがあります。このとき、調和振動子の励起状態はボース粒子に対応します。例えば、電磁場は光子というボース粒子から構成されていると考えることができます。しかし、全ての場が調和振動子で記述できるわけではなく、双曲線型の微分方程式を満たす場合に限られます。

例

調和振動子のモデルは、様々な物理現象を記述するために用いられます。

光子: 電磁場のフーリエ成分
フォノン: 格子振動の基準振動

まとめ

調和振動子は、古典力学と量子力学の両方で解析可能な単純ながらも重要なモデルです。その数学的な記述と、様々な物理現象への応用を通じて、物理学における基礎的な概念を理解する上で役立ちます。

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