レヴィの連続性定理

レヴィの連続性定理

確率論の分野において、極めて重要な基盤を提供する定理の一つに、フランスの傑出した数学者、ポール・レヴィにその名をちなむレヴィの連続性定理があります。「レヴィの収束定理」とも呼ばれるこの定理は、確率変数列の収束という現象を、別の角度から、すなわちそれらの確率変数に対応する特性関数という道具を用いて捉えるための強力な手段を提供します。

確率変数列 $(X_n)_{n=1}^\infty$ がある確率変数 $X$ に「分布収束」するとは、大まかに言えば、$n$ が大きくなるにつれて、$X_n$ の確率分布が $X$ の確率分布に近づいていくことを意味します。より厳密には、全ての連続な点において、確率変数の分布関数が対応する分布関数に収束することを指します。一方で、確率変数 $X_n$ の「特性関数」 $\varphi_n(t)$ は、実数 $t$ に対して期待値 $E[e^{itX_n}]$ として定義される複素数値関数です。特性関数は、確率分布の情報を完全に保持しており、確率分布の解析において非常に有用なツールとなります。

レヴィの連続性定理が主張するのは、これら二つの概念、「確率変数列の分布収束」と「特性関数の各点収束」が、ある条件下で互いに同値であるということです。定理の最も主要な内容は以下の通りです。

ある確率変数列 $(X_n)_{n=1}^\infty$ に対応する特性関数列 $(\varphi_n(t))_{n=1}^\infty$ を考えます。もしこの特性関数列が、ある関数 $\varphi(t)$ に対して、全ての実数 $t \in \mathbb{R}$ で収束するならば、すなわち

$\varphi_n(t) \to \varphi(t) \quad \forall t \in \mathbb{R}$

が成り立つならば、以下の命題は互いに同値になります。その中でも最も重要なのは、元の確率変数列 $(X_n)_{n=1}^\infty$ がある確率変数 $X$ に分布収束するということです。さらに、この極限関数 $\varphi(t)$ はある確率変数 $X$ の特性関数であり、かつ $\varphi(t)$ が $t=0$ で連続であることも保証されます（実際、全ての特性関数は $t=0$ で連続かつ値が1ですが、定理の条件として極限関数が特性関数であるためには $t=0$ で連続であることが重要になります）。逆に、もし確率変数列 $(X_n)_{n=1}^\infty$ が確率変数 $X$ に分布収束するならば、対応する特性関数列 $(\varphi_n(t))_{n=1}^\infty$ は $X$ の特性関数 $\varphi(t)$ に全ての点 $t \in \mathbb{R}$ で収束します。

この定理が確率論においてなぜこれほど重要視されるのかというと、その応用範囲の広さにあります。特に、確率論の最も有名な結果の一つである中心極限定理を証明する際に、レヴィの連続性定理は不可欠な役割を果たします。中心極限定理は、互いに独立で同じ分布に従う確率変数の和を適切に標準化すると、その分布がサンプルサイズが大きくなるにつれて正規分布に近づくことを示すものですが、この証明過程では、標準化された和の特性関数を計算し、それが正規分布の特性関数に収束することを示します。そして、特性関数の収束から確率分布の収束（すなわち中心極限定理の主張そのもの）を導くために、レヴィの連続性定理が用いられるのです。

分布収束を直接扱うことはしばしば技術的に困難を伴いますが、特性関数を用いることで、問題を関数の各点収束という解析的に扱いやすい形に変換することができます。レヴィの連続性定理は、この強力な変換の正当性を保証し、確率論における多くの収束に関する議論の基礎を築いています。この定理の深い洞察と応用性は、現代確率論におけるその中心的な位置づけを確固たるものにしています。

より厳密な証明や詳細については、専門的な教科書を参照する必要があります。例えば、ウィリアムズやフリステッドとグレイによる著作などが、この定理とその周辺理論を深く理解するための優れた参考文献として挙げられます。

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