中心極限定理

中心極限定理について

中心極限定理（Central Limit Theorem, CLT）は、統計学と確率論の重要な理論であり、標本平均が母集団の母平均に近づく様子を示します。この定理は、無作為抽出された標本のサイズが大きくなるに応じて、標本平均と母平均の誤差の分布がどうなるかを定量的に説明します。特に、母集団の確率分布がどのような形であっても、標本サイズが十分大きい場合には、標本平均の分布は近似的に正規分布に従うという特性を持っています。

大数の法則との違い

大数の法則は、標本の平均が大きくなるにつれて母平均に収束する様子を示しますが、中心極限定理はその収束の分布に注目します。つまり、標本の数が増加することで、標本平均の周囲にどのようなばらつきが生じるのかを考察します。このばらつきを示すのが正規分布です。実際、母集団の分布が正規分布、ポアソン分布、または指数分布であったとしても、十分なサンプルサイズがあれば得られる標本平均の分布はほぼ正規分布に近づきます。

定理の内容

中心極限定理の数学的表現は、次のように示されます。独立で同一の分布に従う、期待値μおよび分散σ²を持つ確率変数X₁, X₂,..., Xₙがある時、標本のサイズnが大きくなると、次のような関係が成り立ちます。

標本の和Sₙを次のように定義します。

Sₙ = X₁ + X₂ + ... + Xₙ

この状態において、標本平均X̄ₙは以下の正規分布に従います。

X̄ₙ = (Sₙ)/n ~ N(μ, σ²/n)

ここでN(μ, σ²/n)は、平均μ、分散σ²/nの正規分布を意味します。特に、標本数nが大きくなるほどこの正規分布へと収束していくのです。

収束しないケース

しかし、すべてのケースで正規分布に収束するわけではありません。母集団の分布が分散を持たない場合や、分布のテールが厚い（冪乗則で減衰する）場合には、標本平均は安定分布に収束することがあります。安定分布とは、特定の条件を満たす確率分布で、特に分散が無限大になり得る状況です。

中心極限定理の応用

中心極限定理は、統計学における基本的な考え方の一つであり、実務では例えば世論調査やマーケティングリサーチにおいて、必要なサンプルサイズを決定する際に使用されます。また、この定理の理解は、統計的推定や仮説検定の基盤ともなります。データセットの平均や標準偏差を通じて、得られた結果が母集団の特性をどれだけ正確に推測しているのかを評価するための重要な手段となります。

このように、中心極限定理は多くの分野で役立つ概念であり、その理解は統計解析の基礎を形成します。

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