ローラン級数

ローラン級数：テイラー展開を超える複素関数の表現

ローラン級数は、負のべき乗の項を含む冪級数展開によって関数を表現する方法です。これは、テイラー展開では表現できないような、より広範な複素関数を扱うために用いられます。

ローラン級数の歴史

ローラン級数は、1843年にフランスの数学者ピエール・アルフォンス・ローランによって初めて発表されました。しかし、興味深いことに、その概念はそれよりも前の1841年にドイツの数学者カール・ワイエルシュトラスによって既に発見されていたものの、公表されていませんでした。

ローラン級数の定義

複素関数 f(z) の点 c の周りのローラン級数は、以下の式で表されます。

∑_(n=-∞)^∞ a_n(z - c)^n

ここで、a_n は定数であり、コーシーの積分公式の一般化である線積分によって計算されます。

a_n = (1/(2πi))∮_γ (f(z)dz)/((z - c)^(n+1))

積分路 γ は、点 c を内部に含む、自己交差を持たない反時計回りの閉曲線です。この積分は、f(z) が正則であるようなアニュラス（円環領域）上で実行されます。

ローラン級数の負のべき乗の項の部分（∑_(n=-∞)^-1 a_n(z - c)^n）を主要部と呼びます。

実際には、この積分公式を用いてローラン級数を直接計算することは難しいため、既知のテイラー展開などを組み合わせる方法が用いられることがほとんどです。

ローラン級数の収束性

ローラン級数の収束性は、複素解析において、特に特異点の周りの関数の挙動を調べる上で極めて重要です。

ローラン級数は、あるアニュラス A = {z | r < |z - c| < R} 上で収束します。ここで、r は内半径、R は外半径です。このアニュラスの外側では発散します。 収束半径 r と R は、係数 a_n を用いて以下のように計算できます。

r = limsup_(n→∞) |a_-n|^(1/n)

1/R = limsup_(n→∞) |a_n|^(1/n)

逆に、アニュラス A 上で定義された正則関数 f(z) は、中心 c と少なくとも A 上で収束するローラン級数で一意的に表すことができます。

ローラン級数の応用例

ローラン級数は、様々な場面で活用されます。例えば、特異点を持つ関数の解析、留数定理の適用などです。特に、r = 0 の場合、つまり一点 c においてのみ定義されない関数のローラン展開の -1 番目の係数 a_-1 は、その関数の特異点 c における留数と呼ばれ、留数定理において重要な役割を果たします。

形式ローラン級数

収束性を問題にせずに、形式的にローラン級数を定義することもできます。これは、係数 a_n が適当な可換環 K から取られる形式的な級数です。負のべき乗の項は、その係数が有限個の例外を除き 0 であるもののみを扱います。形式ローラン級数の全体は、K((x)) と表記されます。形式ローラン級数は、代数的な操作（和、積）が定義され、環を形成します。K が体である場合、K((x)) は体となります。

まとめ

ローラン級数は、テイラー展開では表現できない複素関数を扱うための強力なツールです。その収束性、主要部、留数などの概念は、複素解析において重要な役割を果たしており、様々な応用が考えられます。また、形式ローラン級数は、代数的な観点からも興味深い対象です。

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