留数

複素関数論における留数：概念、計算、応用

複素解析において、留数とは孤立特異点の周囲の積分から得られる複素数値です。この数値は、関数の局所的な振る舞いを表し、様々な積分計算や級数計算に利用されます。本記事では、留数の定義、計算方法、留数定理、そして具体的な応用例について詳細に解説します。

留数の定義

解析関数 f(z) が孤立特異点 z = a を持つ場合、z = a における留数 Res(f, a) は、z = a を中心とする十分小さな閉曲線 γ に沿った線積分によって定義されます。

$$\operatorname{Res}(f, a) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma} f(z) \, dz$$

ここで、i は虚数単位です。積分路 γ は正の向きに回る単純閉曲線であれば、その形状は本質的ではありません。

正則点においてもこの積分は定義可能ですが、コーシーの積分定理より留数の値は 0 となります。無限遠点における留数も同様に定義でき、変数変換を用いて有限の孤立特異点における留数の計算に帰着できます。

留数の計算

留数の計算は、関数のローラン展開を用いて効率的に行えます。孤立特異点 z = a の周りのローラン展開

$$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - a)^n$$

において、a_-1 が z = a における留数に一致します。つまり、

$$\operatorname{Res}(f, a) = a_{-1}$$

となります。n位の極の場合、留数は次の公式を用いて計算できます。

$$a_{-1} = \frac{1}{(n-1)!} \lim_{z \to a} \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} [(z-a)^n f(z)]$$

無限遠点における留数の計算も、同様の方法で実行可能です。

留数定理

留数定理は、単純閉曲線 γ とその内部領域 D 上で定義される関数 f(z) に対し、D 内に孤立特異点 a1, a2, ..., an を持つ場合、次の関係が成り立つことを主張する重要な定理です。

$$\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \sum_{i=1}^n \operatorname{Res}(f, a_i)$$

この定理は、複素積分の計算を、特異点における留数の和に帰着させる強力なツールです。

留数の応用

留数定理は、様々な積分計算や級数計算に強力な応用を持ちます。

例1：実軸上の積分

留数定理を用いることで、実軸上の様々な積分が計算できます。例えば、

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(1+x^2)^{n+1}}$$

のような積分を計算できます。この積分は、複素平面に拡張し、留数定理を用いることで解析的に求めることができます。

例2：偏角の原理

留数定理は偏角の原理という重要な定理を導きます。これは、関数の零点と極の個数を複素積分を用いて数えることができる定理です。

例3：バーゼル問題の解

留数計算を用いて、バーゼル問題

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$$

を解くことができます。これは、πcot(πz) の留数を用いた巧妙な計算によって達成されます。

例4：余接関数の部分分数展開

留数定理を用いて、余接関数の部分分数展開

$$\pi \cot(\pi z) = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=-N}^N \frac{1}{z - n}$$

を導出できます。この展開は、様々な級数計算において有用です。

まとめ

留数は、複素解析において重要な概念であり、留数定理は様々な問題を解くための強力なツールです。その計算方法はローラン展開に密接に関連しており、実積分や無限級数の計算など、広範な応用が可能です。本記事で紹介した例題は、留数の威力を示すほんの一例であり、更なる応用が数多く存在します。

もう一度検索