ワイソフのゲーム

ワイソフのゲーム

ワイソフのゲーム（英: Wythoff's game）は、2人のプレイヤーが交互に2つの山からコインや石を取り合い、最終的に最後の一つを取った方が勝者となる、非常に興味深い戦略ゲームです。このゲームでは、プレイヤーは片方の山からのみ、または両方の山から同数ずつコインを取ることができ、これによってゲームの進行が決まります。

ゲームの基礎

本ゲームは、チェスのクイーンを用いた視覚的な説明でも理解可能です。プレイヤーは碁盤上でクイーンを南、南西、西に移動させ、最終的に左下の隅に移動させた者が勝ちとなります。これは、各プレイヤーが持つ2つの山のコインの数に相当します。

このゲームに関する言及は古く、1977年に著名な数学者マーティン・ガードナーが『サイエンティフィック・アメリカン』のコラムで、類似の形式が中国ですでに存在していたと報告しました。中国ではこのゲームは「捡石子」として知られていました。

数学的分析

ワイソフのゲームは1907年にオランダの数学者ウィレム・アブラハム・ワイソフによってその数学的な特性が分析されました。特筆すべきは、このゲームが最初に数学的に解決された2人用のゲームの一つである点です。ゲームの勝者は、最初に設定したコインの数の組によって決定されます。

必勝形の原理

ゲームの中には必勝形と後手必勝形が存在します。後手必勝の形は、後手が勝つことができる状態を示すものであり、これはゲームの感触を大きく左右します。

具体的には、コインの数を(x, y)（x ≤ y）とした場合、(0, 0) は後手必勝形とされ、任意の自然数aに対して(x - a, y)、(x, y - a)、(x - a, y - a)のいずれかが後手必敗形である必要があります。これに基づき、後手必勝形を計算することで、プレイヤーは有利な手を選ぶことができます。

ゼッケンドルフ表現

ワイソフのゲームにおける後手必勝形は、ゼッケンドルフ表現と呼ばれる方法で示すことも可能です。この表現では、フィボナッチ数を利用し、コインの数の差であるy - xが特定のフィボナッチ数の組み合わせによって表現されます。

逆型ルール

他の組合せゲーム同様、ワイソフのゲームには逆型ルールも存在します。この場合、最後に石を取った者は負けとなります。逆型のワイソフのゲームにおける後手必勝形は、特定の数の組を参照しながら定義されます。

結論

ワイソフのゲームは、シンプルなルールの中に深い数学的な意味合いを伴い、戦略的思考を必要とする面白いゲームです。その歴史と数学的な背景が合わさり、多くのプレイヤーを魅了し続けています。趣味としても、また学問としても多くの発見に満ちたゲームであり、ユーザーに新たな挑戦を提供します。

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