ヴァン・ラモン円

ヴァン・ラモン円 (van Lamoen circle)

平面上の幾何学、特にユークリッド幾何学の枠組みで考えられる三角形には、様々な特別な点や直線、そして円が関連付けられています。ヴァン・ラモン円（またはヴァン・ラモーエン円、ヴァン・ラムーン円とも呼ばれます）もその一つであり、三角形の基本的な要素から導かれる興味深い性質を持つ円です。

定義

ある三角形ABCを考えます。この三角形の3つの頂点をそれぞれA, B, Cとします。次に、それぞれの辺、すなわち辺BC, 辺CA, 辺ABのちょうど真ん中の点、つまり中点を順にMa, Mb, Mcとします。さらに、三角形の重心をGとします。重心Gとは、三角形の3つの中線（頂点と対辺の中点を結んだ線分）が一点で交わる点のことです。

ここで、以下の6つの円を考えます。それぞれの円は、三角形の頂点、重心G、そして対応する辺の中点の特定の組み合わせを通ります。

1. 点 A, 重心 G, 辺 AB の中点 Mc を通る円
2. 点 B, 重心 G, 辺 AB の中点 Mc を通る円
3. 点 B, 重心 G, 辺 BC の中点 Ma を通る円
4. 点 C, 重心 G, 辺 BC の中点 Ma を通る円
5. 点 C, 重心 G, 辺 CA の中点 Mb を通る円
6. 点 A, 重心 G, 辺 CA の中点 Mb を通る円

これら6つの円はそれぞれ異なりますが、これらの円の中心がすべて同一の円周上に位置するという remarkable な性質が成り立ちます。この中心たちが作る円周こそが、三角形のヴァン・ラモン円なのです。

歴史

ヴァン・ラモン円の概念は、2000年にオランダの数学愛好家であるフロアー・ヴァン・ラモン（Floor van Lamoen）氏によって問題として提起されたことに始まります。この問題は、前述の6つの円の中心が同一円周上にあることを証明せよ、というものでした。彼の提起した問題が、後に彼の名前にちなんでこの円が「ヴァン・ラモン円」と呼ばれるきっかけとなりました。

この幾何学的な性質の証明は、その提起から間もなく達成されました。2001年には数学者のキン・Y・リー（Kin Y. Li）氏が、また2002年には著名な数学雑誌「The American Mathematical Monthly」の編集者チームが、それぞれ独立にヴァン・ラモン氏の問題に対する肯定的な証明を与えました。

性質

ヴァン・ラモン円の中心自体もまた、三角形に付随する特別な点の一つです。三角形の中心に関する情報を集めた権威あるデータベース、クラーク・キンバリング氏の「Encyclopedia of Triangle Centers（TEC）」においては、このヴァン・ラモン円の中心は識別番号X(1153)として登録されています。

この中心点の正確な位置は、三角形の辺の長さを用いて表される三線座標によって定義されます。その三線座標を計算するための数式は複雑な形をしており、三角形の具体的な形状（辺の長さ）によって中心の位置が一意に定まります。

また、ヴァン・ラモン円に関連する重要な幾何学的定理が、2003年にアレクセイ・ミャキシェフ（Alexey Myakishev）氏とピーター・Y・ウー（Peter Y. Woo）氏によって証明されました。彼らの定理は、三角形内の任意の点Pについて、「点Pが三角形の垂心または重心であること」と、「点Pを通るチェバ線AA', BB', CC'（ただしA', B', C'はPを通る直線と対辺の交点）に関連して定義される6つの円（A, P, B'を通る円; A, P, C'を通る円; B, P, C'を通る円; B, P, A'を通る円; C, P, A'を通る円; C, P, B'を通る円）の中心が同一円周上にあること」が数学的に同値である、という内容です。これは、ヴァン・ラモン円の定義に見られる「6つの円の中心が同一円周上にある」という構造が、重心だけでなく、三角形のもう一つの重要な中心である垂心にも適用できる普遍性を持っていることを示しています。

このMyakishev-Wooの定理の証明については、2005年にベトナムの数学者グエン・ミン・ハ（Nguyen Minh Ha）氏によって、より簡潔で理解しやすい証明が提供されています。

関連する円

三角形には、その特定の点や線に基づいて定義される多くの特別な円が存在します。ヴァン・ラモン円と同様に有名なものとしては、三角形の外心、重心、垂心が同一円周上にあるというオイラー線上の3点を通るレスター円や、重心と外心、垂心と垂心三角形の各頂点を通る円などがあります。ヴァン・ラモン円も、これらの特殊な円の豊かな世界の一員として、三角形の幾何学における興味深い研究対象となっています。

ヴァン・ラモン円は、重心と辺の中点という比較的基本的な要素から導かれるにも関わらず、その存在が21世紀に入ってから問題提起された比較的新しい発見であるという点で特筆されます。これは、ユークリッド幾何学という古くから研究されてきた分野においても、まだ探求すべき未発見の性質が存在することを示唆しています。

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