一致の定理

一致の定理：解析関数の同一性に関する重要な定理

一致の定理は、実解析と複素解析の分野において、解析関数の性質に関する重要な定理です。この定理は、ある条件下で、局所的に一致する二つの解析関数が、大域的に一致することを主張しています。特に、複素解析における解析接続の一意性を証明するために不可欠な役割を果たします。

定理の記述

一致の定理には、主に以下の二つの表現形式があります。いずれも本質的には同じ内容を表しており、互いに言い換え可能であると言えるでしょう。

(1) 零点集合による表現

複素平面上の連結開領域Dで正則な複素関数f(z)を考えます。もし、f(z)の零点集合がDにおいて集積点を持つならば、f(z)は領域D全体で恒等的に0となります。

(2) 関数の同一性による表現

連結開領域Dで正則な二つの複素関数f(z)とg(z)を考えます。Dの部分集合U（例えば開集合）上でf(z)とg(z)が一致し、かつこの一致する領域UがDにおいて集積点を持つならば、f(z)とg(z)は領域D全体で一致することになります。

定理の証明

ここでは、(1)の表現形式を用いて一致の定理を証明します。(2)の形式については、f(z)-g(z)に対して(1)の形式を適用することで容易に証明できます。証明は、大きく二つの段階に分けて行います。

第1段階：零点の集積点近傍における恒等的な0

f(z)の零点の集積点z₀を一つ選びます。f(z)はDで正則であるため、z₀を中心としたある半径rの開円板Uにおいて、テイラー展開が可能です。もし、この開円板U上でf(z)が恒等的に0でないならば、テイラー展開の係数の中に0でないものが存在します。その中で最も添字の小さい係数をcₙとします。このとき、f(z) = (z-z₀)ⁿh(z)と表すことができ、h(z)はUで正則であり、h(z₀)≠0となります。しかし、これはz₀がf(z)の零点の集積点であるという仮定に矛盾します。したがって、開円板U上ではf(z)は恒等的に0でなければなりません。

第2段階：領域D全体への拡張

第1段階で示された、零点の集積点の近傍におけるf(z)=0という結論を、領域D全体に拡張します。この際に、解析接続の一意性を用いることは、循環論法になる可能性があるため避けるべきです。

Dに含まれるf(z)の零点のみからなる開集合全体をD₁とします。D₁は開集合であり、D₁⊂Dを満たします。もしD₁≠Dと仮定すると、D₂=D∩(D₁の閉包の補集合)と置くと、D₂も開集合であり、D₁∩D₂=∅となります。さらに、γ=D∩∂D₁と置くと、γはD₁の境界となります。このとき、D=D₁∪γ∪D₂が成り立ちますが、Dの連結性から矛盾が生じます。したがって、D₁=Dとなり、D上ではf(z)は恒等的に0であると結論付けられます。

歴史的背景

一致の定理は、明確な命名者はいませんが、1844年頃にリウヴィルが楕円関数に関する研究の中で特殊な形で適用したのが最初とされています。その後、コーシーが複素解析の枠組みの中で一般化し、定理として確立しました。

まとめ

一致の定理は、解析関数の局所的な性質から大域的な性質を導き出すことができる重要な定理です。その証明には、解析関数の正則性とテイラー展開、そして集合論的な議論が巧みに用いられています。複素解析における基礎定理の一つとして、その理解は不可欠です。

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