一般のライプニッツの法則

一般化されたライプニッツの法則

一般化されたライプニッツの法則は、数学の微分積分学において、従来のライプニッツの法則を拡張したものであり、複数の微分可能関数の積に関する微分がどのように計算されるかを示しています。特に、2つの関数の積に関して、n回の微分を行った場合の結果を表す式が導かれます。

基本定義と式

2つの関数 f と g が n回微分可能であるとき、これらの積 fg の n階微分は次のように表されます：

$$(fg)^{(n)} = extstyle igg(
abla_{k=0}^{n} inom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)} igg)$$

ここで、$inom{n}{k}$ は n の中から k を選ぶ二項係数です。この式は、ドイツの数学者で哲学者でもあるゴットフリート・ライプニッツの名前に因んでいます。

証明

一般化されたライプニッツの法則は、積の法則と数学的帰納法を用いることで証明されます。たとえば、n = 1の場合、基本的な積の微分法則は次のようになります：

$$(fg)' = f' g + f g'$$

n = 2では、次のように表現されます：

$$(fg)'' = f'' g + 2f' g' + f g''$$

さらに、n = 3のときは：

$$(fg)''' = f''' g + 3f'' g' + 3f' g'' + f g'''$$

各項の係数は二項係数に従うため、パスカルの三角形を用いて計算できます。

多因子への一般化

この法則は、複数の関数に拡張することもできます。f₁, f₂, ..., fₘが m個の n階微分可能な関数であれば、これらの積の n階微分は次のように表されます：

$$(f_{1}f_{2} imes o f_{m})^{(n)} = extstyle igg(
abla_{k_{1}+k_{2}+ o +k_{m}=n} inom{n}{k_{1},k_{2}, o ,k_{m}}f_{1}^{(k_{1})} f_{2}^{(k_{2})} imes o f_{m}^{(k_{m})} igg)$$

ここで、$inom{n}{k_{1},k_{2}, o ,k_{m}}$ は多項係数であり、特定の方法で計算されます。

多変数版

さらにさらに一般化すれば、多重指数記法を使用し、次のように表現できます：

$$rac{ ext{∂}^{ ext{α}}(fg)}{ ext{∂}^{ ext{β}}} = extstyle igg(
abla_{eta ext{≤} ext{α}} inom{ ext{α}}{ ext{β}} igg(rac{ ext{∂}^{ ext{α}- ext{β}}f}{ ext{∂}} igg)igg(rac{ ext{∂}^{ ext{β}}g}{ ext{∂}}igg)$$

この式は微分作用素の合成を計算する際に役立ち、ライプニッツ公式と呼ばれます。これをもとに、表象の合成を定義することができ、そこから環の構造を構築できます。

結論

一般化されたライプニッツの法則は、微分積分学の基盤となる重要な概念であり、様々な数学的問題に対する洞察を提供します。この法則は、単なる計算手法を超え、数学の理論的枠組みを広げる役割を果たしています。それによって、特に多変数の場面での複雑な微分計算が可能となります。

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