微分作用素

微分作用素

数学における微分作用素は、微分演算を関数として定義した作用素です。これは、微分演算を入力関数に対して別の関数を返す抽象的な演算と捉える考え方に基づいています。特に、線形作用素がよく扱われますが、非線形微分作用素も存在します。

定義

関数空間 ${\mathcal{F}}_{1}$ から別の関数空間 ${\mathcal{F}}_{2}$ への写像 $A$ が存在し、$u \in {\mathcal{F}}_{1}$ の像となるような関数 $f \in {\mathcal{F}}_{2}$（つまり $f=A(u)$）が存在すると仮定します。

微分作用素は、$u$ およびその高階微分によって有限生成される作用素を指し、以下の形式を含みます。

$P(x,D)=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }$

ここで、$\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})$ は多重指数、$|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}$ は長さ、$a_{\alpha }(x)$ はn次元空間内の開領域上の関数、$D^{\alpha }=D^{\alpha _{1}}D^{\alpha _{2}}\cdots D^{\alpha _{n}}$ です。微分は、関数、超関数、佐藤超関数などの意味で考えることができ、微分演算も $D_{j}=-i{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}$ や $D_{j}={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}$ と選ぶことがあります。

記法

最も一般的な微分作用素は、微分を取る操作です。変数 x について一階微分を取る作用素の記法としては、$\frac{d}{dx}$, $D$, $D_x$, $\partial_x$ などがあります。n階微分を取る作用素は、$\frac{d^n}{dx^n}$, $D^n$, $D_x^n$ などと書かれます。変数 x の関数 f の微分は、$[f(x)]'$ や $f'(x)$ などで表されることもあります。

記号 D はヘヴィサイドによって導入され、彼は微分方程式の研究で $\sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}$ の形の微分作用素を考えました。

よく見かける微分作用素として、ラプラス作用素があります。

$\Delta =
abla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{k}^{2}}}$

オイラー作用素は以下のように定義されます。

$\vartheta =z{\frac {d}{dz}}$

n変数のテータ作用素は以下のように定義されます。

$\Theta =\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}$

微分作用素の引数は通常、作用素の右側に書きますが、別の記法も用いられます。

ナブラ

微分作用素 $
abla$ はナブラ作用素とも呼ばれ、重要なベクトル微分作用素です。三次元直交座標系では、以下のように定義されます。

$
abla =\mathbf {\hat {x}} {\partial \over \partial x}+\mathbf {\hat {y}} {\partial \over \partial y}+\mathbf {\hat {z}} {\partial \over \partial z}$

$
abla$ は、勾配、回転、発散、ラプラシアンの計算に使われます。

随伴作用素

線型微分作用素 $Tu=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)D^{k}u$ に対し、その随伴作用素 $T^$ は、$\langle Tu,v\rangle =\langle u,T^{}v\rangle$ を満たす作用素です。ここで、$\langle ,\rangle$ はスカラー積または内積です。

一変数の形式随伴は、自乗可積分関数全体の成す関数空間において、標準的なスカラー積を用いて定義されます。

ストゥルム・リウヴィル作用素

ストゥルム・リウヴィル作用素は、よく知られた形式自己随伴作用素です。2階の線型微分作用素 L は次の形で書くことができます。

$Lu=-(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p)D^{2}u+(-p')Du+(q)u.$

この作用素は、ストゥルム・リウヴィル理論で中心的な役割を果たし、その固有関数が研究されています。

微分作用素の性質

微分演算 D は線形であり、$D(f+g)=(Df)+(Dg)$, $D(af)=a(Df)$ を満たします。関数係数の D を変数とする任意の多項式も微分作用素です。微分作用素の合成は $(D_{1}\circ D_{2})(f)=D_{1}(D_{2}(f))$ という規則に基づいて扱われます。

多変数の場合

偏微分に対しても同様の構成が可能です。異なる変数に関する微分演算は可換な作用素を定めます。

多項式係数微分作用素の環

R を環とするとき、R 上の一変数多項式係数微分作用素環は、R⟨X; D⟩/I で表されます。ここで、I は ([D, X] − 1) で生成される両側イデアルです。同様に、n変数の多項式係数微分作用素環も定義できます。

座標に依存しない記述

微分幾何学や代数幾何学では、ベクトル束の間の微分作用素の座標に非依存な記述が便利なことがあります。線型写像 P: Γ(E) → Γ(F) が k-階の線型微分作用素であるとは、ジェット束 Jk(E) を通して分解できるときに言います。

可換環論との関係

線型微分作用素は、可換代数上の加群の間の特別な写像と見なすことができ、可換環論の一部として扱うことができます。

例

物理科学への応用において、ラプラス作用素のような作用素は、偏微分方程式を解く上で重要な役割を果たします。微分位相幾何学において、外微分やリー微分作用素は内在的な意味を持ちます。抽象代数学における導分の概念は、微分作用素の一般化を可能にします。

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