七十二角形

正七十二角形：その性質と作図

正七十二角形は、72本の辺と72個の頂点を持つ多角形です。多角形の内角の和は、(辺の数 - 2) × 180°で計算できます。したがって、正七十二角形の内角の和は(72 - 2) × 180° = 12600°となります。また、多角形の対角線の本数は、n(n-3)/2（nは辺の数）で計算でき、正七十二角形の場合は72(72-3)/2 = 2484本となります。

正七十二角形の幾何学的性質

正七十二角形では、中心角と外角はどちらも360°/72 = 5°です。内角は180° - 5° = 175°となります。一辺の長さをaとすると、正七十二角形の面積Sは、以下の式で表されます。

S = 18a²cot(π/72)

この式は、正多角形の面積の一般式から導き出されます。cotは余接関数です。この面積計算には、π/72という角度の余接の値が必要になります。π/72ラジアンは非常に小さな角度であるため、この値の正確な計算は複雑になります。

三角関数と正七十二角形

正七十二角形に関連する三角関数の値、特にsin(2π/72)やcos(2π/72)の計算は、非常に複雑です。これらの値は、平方根や立方根を用いた複雑な式で表現されます。例えば、sin(2π/72)は虚数単位iを含む式で表され、その導出には高度な数学的知識が必要です。文献によっては、これらの値を近似値で扱う場合もあります。

さらに、正七十二角形に関連するcosの値を用いた以下の関係式が成り立ちます。

2cos(2π/72) + 2cos(50π/72) + 2cos(46π/72) = 0
2cos(14π/72) + 2cos(62π/72) + 2cos(34π/72) = 0
2cos(10π/72) + 2cos(38π/72) + 2cos(58π/72) = 0
2cos(70π/72) + 2cos(22π/72) + 2cos(26π/72) = 0

これらの関係式は、正七十二角形の対称性と密接に関連しています。これらの式を解くことで、cos(2π/72)の値を求めることができます。しかし、これらの式を解く過程も複雑で、一般的には三次方程式を解く必要があります。

正七十二角形の作図

正七十二角形は、定規とコンパスのみを用いた作図が不可能です。これは、正七十二角形の中心角が5°であり、5°の角を定規とコンパスで作図することができないことに起因します。作図可能性は、角度が2^nで割り切れるかどうかに依存します。72は2^3 × 9なので、2の累乗数だけで割り切れません。

しかし、正七十二角形は折紙を用いることで作図が可能です。折紙では、角度の二等分や三等分が容易に実現できるため、定規とコンパスでは不可能な作図も可能になります。

まとめ

正七十二角形は、その複雑な幾何学的性質と作図の難しさから、数学的な興味深い対象です。その面積計算、三角関数との関係、作図可能性といった様々な側面から、幾何学や代数学の深い理解を必要とする図形であるといえます。

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