三十一角形

正31角形:幾何学と作図不可能性



正31角形は、31本のと31個の頂点を持つ多角形です。この図形は、その幾何学的性質だけでなく、作図不可能性という点でも数学的に興味深い特徴を持っています。

幾何学的性質

頂点: 正31角形は、定義通り31本のと31個の頂点から構成されています。
内角の和: 多角形の内角の和は、(n-2)×180°(nはの数)で表されます。正31角形の場合、(31-2)×180° = 5220°となります。
対角線の本数: 正n角形の対角線の本数は、n(n-3)/2で表されます。正31角形では、31(31-3)/2 = 434本の対角線が存在します。
中心角と外角: 正多角形の中心角は360°/nで、外角も同様に360°/nで表されます。正31角形の中心角と外角は約11.612°です。
内角: 正多角形の内角は180° - (360°/n)で計算できます。正31角形の内角は約168.387°になります。
面積: 一の長さをaとすると、正31角形の面積Sは次の式で表されます。

S = (31/4)a² cot(π/31) ≒ 76.21197a²

この面積の計算には、π/31の余接(cotangent)が必要となります。

正31角形のcos(2π/31)の算出

正31角形の一の長さや面積を計算する際に必要となるcos(2π/31)の値は、単純な三角関数では求められません。この値を得るには、5次方程式や3次方程式を解く必要があることが知られています。テキストでは、z⁵ = 1の複素数解を用いた複雑な計算過程が示されています。この過程は、複数の変数と三角関数を用いた連立方程式の解法を必要とし、高度な数学的知識を要します。テキストに記載されている解法は、複数の段階を経て、最終的にcos(2π/31)を平方根と立方根を用いた複雑な式で表現しています。

作図不可能性

正31角形は、定規とコンパスのみを用いた作図が不可能です。これは、31がフェルマー素数ではないためです。フェルマー素数とは、2²ⁿ + 1の形で表される素数のことであり、正n角形が定規とコンパスで作図可能であるための必要十分条件は、nが2のべき乗と異なるフェルマー素数の積であることです。31はフェルマー素数ではないため、正31角形は作図不可能です。同様に、折り紙による作図も不可能であることが証明されています。

結論

正31角形は、その幾何学的性質の複雑さと、作図不可能性という特徴から、数学における興味深い対象となっています。面積計算に必要なcos(2π/31)の算出は高度な数学的知識を必要とし、その複雑さから、正31角形は理論的には理解できても、実際に作図することは非常に困難であることがわかります。 この図形は、数学における代数と幾何学の深い繋がりを示す好例と言えるでしょう。

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